Kann jemand eine intuitive Beziehung zwischen Linear- und Winkelgeschwindigkeit angeben?

Ich denke, es könnte hilfreich sein, einen Fall von gleichförmiger Kreisbewegung zu betrachten . Das OP ist sich seiner allgemeinen Ableitung durch Differenzierung bereits bewusst , aber eine gleichmäßige kreisförmige Bewegung kann helfen, eine gewisse Intuition zu entwickeln .
Stellen Sie sich vor, dass ein Objekt eine kreisförmige Bewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit erfährt$\omega$und damit konstante Geschwindigkeit$v$. Ein vollständiger Winkel ist$2 \pi$, also können wir sagen:

Nun, da wir diese Gleichung hergeleitet haben, bemerken wir, dass während$\omega$sagt uns über die Rate, mit der der Winkel im Bogenmaß abgedeckt wird, multipliziert mit$R$führt uns zu der Geschwindigkeit, mit der der Umfang verfolgt wird.

Sie können die Geschwindigkeit in cm/s oder m/s oder km/h notieren... zum Beispiel die physikalische Geschwindigkeit$v$kann ausgedrückt werden als

Wo$L$Und$T$sind generische Längen- und Zeitgrößen, während$v_{L/T}$ist der "Wert" von$v$wenn du nimmst$L$Und$T$als Einheiten.

Wenn Sie sich auf einem Radiuskreis befinden$R$, dann hast du eine natürliche Längeneinheit,$R$, und eine natürliche Zeiteinheit, die Periode$P$. Nehmen$T=s$um die übliche "zweite" zu sein

Hier$v_{R/s}$ist die Winkelgeschwindigkeit (die in "natürlichen" Einheiten gemessene Geschwindigkeit ist immer$v_{R/P} =2 \pi$).

Für ungleichförmige Kreisbewegungen ist es genau das gleiche, aber Sie müssen mit Zeitableitungen arbeiten. Das gleiche Zeug funktioniert auch für nicht kreisförmige Bewegungen, aber Sie müssen die Flugbahn lokal mit einem Kreis annähern (indem Taylor die Flugbahn erweitert) oder einen "Pol" wählen, um die Winkelgeschwindigkeit zu messen.

Einfache Antwort

Aus der Geometrie kennen Sie die Länge eines Bogens$s = r\, \theta$Wo$r$ist der Radius des Bogens, und$\theta$der Winkel, den es überspannt.

Nehmen Sie die Zeitableitung des Obigen, da der Bogen die Bewegung eines Teilchens beschreibt, das auf einem rotierenden Körper reitet, und Sie haben

Tiefes Verständnis

Ich hoffe, Sie sind mit Vektoren vertraut, denn auf dieser Ebene wird die Kinematik (das Studium der Bewegung) intuitiver als auf der Komponentenebene. Insbesondere sollten Sie mit dem Konzept des Kreuzprodukts und des Skalarprodukts zwischen zwei Vektoren vertraut sein. Noch wichtiger als ein Ausdruck der Form$\text{(position)}\times\text{(something)}$führt uns in das Konzept des Hebelarms ein .

Zusammen mit dem Hebelarm ergibt sich das Konzept des Moments von . Wo Drehmoment das Moment der Kraft ist$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$, und die Translationsgeschwindigkeit ist das Moment der Rotation$\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}$.

Reden wir über die Rotationsgeschwindigkeit (Vektor)$\vec{\omega}$

Ich werde drei verschiedene Aspekte der Bewegung verwenden, um über Rotationsgeschwindigkeit zu sprechen.

• [Kinematik] $\vec{\omega}$ist ein mathematisches Werkzeug zur vereinfachten Beschreibung der Bewegung eines starren Körpers. Anstatt Geschwindigkeitsvektoren an jedem Punkt eines Körpers anzugeben , ermöglicht uns die Rotationsgeschwindigkeit eine bequeme Berechnung unter Verwendung der Geschwindigkeit eines Punktes, um die Geschwindigkeit aller anderen Punkte abzuschätzen

  $$\vec{v}_{\rm point} = \vec{v}_{\rm ref} + \vec{\omega} \times \vec{r}$$

• [Vektorfeld] $\vec{\omega}$ist schwer zu visualisieren, da sie im Gegensatz zur Translationsgeschwindigkeit direkt aus der beobachteten Bewegung messbar ist$\vec{v}$die an jedem Punkt direkt gemessen werden können. Rotationssensorik ist ein faszinierendes Thema. Aber verstehen Sie, dass die wahre allgemeine Bewegung eines starren Körpers durch ein Geschwindigkeitsvektorfeld mit sowohl einer rotierenden Komponente als auch einer parallel verschiebenden Komponente beschrieben wird. Dies wird als Satz von Chasles bezeichnet .

• [Geometrie] $\vec{\omega}$ist der Schlüssel zum Verständnis der zugrunde liegenden Bewegungsgeometrie. Mit Geometrie meine ich Schlüsselpunkte und Linien im Raum, die einen Einblick in die Bewegung geben. Das Konzept der Rotationsachse ist das, worüber ich hier spreche.

Also, wie zu definieren$\vec{\omega}$? Jeder der drei oben genannten Aspekte hat seine eigene Definition der Rotationsbewegung, und jeder spricht über dasselbe.

• Unter Verwendung der Kinematik würden Sie die Ableitung eines Vektors beschreiben, der auf einem rotierenden Rahmen reitet , um die allgemeine Regel festzulegen

  $$\frac{{\rm d} \vec{A} }{{\rm d}t} = \frac{ \partial \vec{A}}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{A}$$ die verwendet wird, um die Bewegungen von Teilchen auf Körpern zu finden und die oben gezeigte kinematische Gleichung abzuleiten. Dies ist eine Art Zirkelschluss, da das Konzept der Rotationsgeschwindigkeit eines Rahmens einfach hineingeworfen wird und weil alles funktioniert, bedeutet dies, dass unsere Vermutung richtig war.

• Die Verwendung des Vektorfeldes, das durch Punkte beschrieben wird, die sich bewegen, aber ihre Abstände zueinander festhalten, führt ebenfalls zu einer Definition von$\vec{\omega}$. Die Mathematik ist etwas komplexer, nimmt aber den Abstand zwischen zwei Punkten A und B als$\ell_{AB} = \sqrt{ (\vec{r}_A - \vec{r}_B) \cdot ( \vec{r}_A - \vec{r}_B)}$und das Differenzieren über die Zeit mit der Kettenregel ergibt so etwas wie

  $$(\vec{r}_A - \vec{r}_B) \cdot ( \vec{v}_A - \vec{v}_B) = 0$$ die entweder durch eine Rotationsrelativbewegung oder eine reine Translationsbewegung gelöst wird. Die absolute Bewegung ist die Kombination der beiden und damit der Satz von Chasles.

• Mithilfe von Geometrie können Sie zeigen, dass es einen Ort von Punkten im Raum gibt, der eine unendliche Linie beschreibt. Auf dieser Linie ist die Bewegung von Teilchen des Körpers nur parallel zu dieser Linie. Dies ist die Definition der Rotationsachse. Diese Geschwindigkeit auf der Achse wird als skalares Vielfaches des Rotationsvektors zerlegt$\vec{v}_{axis} = h\, \vec{\omega}$Wo$h$wird Steigung genannt und ist das Verhältnis von Translationsgeschwindigkeit zu Rotationsgeschwindigkeit. Die Bewegung aller Teilchen auf einem Körper wird durch die Lage der Rotationsachse beschrieben$\vec{r}$, die Tonhöhe$h$und die Größe und Richtung der Rotationsgeschwindigkeit$\vec{\omega}$

  $$\vec{v} = h\,\vec{\omega} + \vec{r} \times \vec{\omega}$$ Sie können zwischen den 3 Geschwindigkeitskomponenten und der geometrischen Zerlegung hin und her wechseln$\vec{r}$,$h$Und$\vec{\omega}$frei.

Was Sie lineare Geschwindigkeit nennen, ist nur die klassische Geschwindigkeit der Testmasse in m/s. Die Winkelgeschwindigkeit sagt dir, wie viel "Winkel" du pro Sekunde zurücklegst, wenn du dich im Kreis bewegst (also rotierst).

Angenommen, Sie machen eine volle Umdrehung pro Sekunde. Je größer der Radius der Umdrehung ist, desto schneller müssen Sie sich bewegen, um den vollen Umfang abzudecken. Deshalb wächst die Lineargeschwindigkeit mit dem Radius, wenn die Winkelgeschwindigkeit konstant bleiben soll.