Kann sich die Richtung von Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit unterscheiden?

Stellen Sie sich einen dünnen rechteckigen Block mit Breite vor$w$, Höhe$h$ruht entlang der xy- Ebene, wie unten gezeigt.

Die Masse des Blocks ist$m$. Das Massenträgheitsmoment (Tensor) des Blocks um Punkt A ist

$${\bf I}_A = m \begin{vmatrix} \frac{h^2}{3} & -\frac{w h}{4} & 0 \\ -\frac{w h}{4} & \frac{w^2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{w^2+h^2}{3} \end{vmatrix}$$

Dies wurde aus der Definition abgeleitet (wie auf https://physics.stackexchange.com/a/244969/392 zu sehen )

Wenn sich dieser Block mit einer Rotationsgeschwindigkeit entlang der x -Achse dreht

$$\boldsymbol{\omega} = \begin{pmatrix} \Omega \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ dann ist der Drehimpuls um Punkt A

$${\bf L}_A = m \Omega\,\begin{pmatrix} \frac{h^2}{3} \\ -\frac{w h}{4} \\ 0 \end{pmatrix}$$

Wie Sie sehen können, gibt es eine Drehimpulskomponente in y - Richtung. Der Drehimpulsvektor bildet einen Winkel$\psi = -\tan^{-1} \left( \frac{3 w}{4 h} \right)$

In der Abbildung unten sehen Sie die Richtung des Drehimpulses und den Kreis, um den der Massenmittelpunkt aufgrund der Präzession kreisen wird.

Physikzulassung, das Trägheitsmoment kennst du anscheinend schon$I$Tensor (kurz Trägheitstensor) ist in der Tat eher ein Tensor als ein Skalar. Wenn es ein Skalar wäre, dann wären Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit per Definition immer parallel. Dies ist aufgrund der tensorischen Natur des Trägheitsmoments nicht unbedingt der Fall.

Der Trägheitstensor eines beliebigen dreidimensionalen starren Körpers, wie er in einem beliebigen Satz orthogonaler kartesischer Achsen ausgedrückt wird, kann in Form einer 3x3-Matrix ausgedrückt werden, die (a) symmetrisch und (b) positiv semidefinit ist. Diese beiden Tatsachen bedeuten, dass man immer einen Satz orthogonaler Achsen wählen kann, in denen der Trägheitstensor diagonal ist. Es gibt drei verschiedene Fälle für eine 3x3-Diagonalmatrix:

• Alle drei Diagonalelemente sind einander gleich,
• Zwei der drei diagonalen Elemente sind einander gleich, aber das dritte ist eine verschiedene Größe, und
• Die drei diagonalen Elemente sind unterschiedliche Größen.

Im ersten Fall,$\mathrm I \vec \omega$wird immer parallel sein$\vec \omega$. Im zweiten Fall$\mathrm I \vec \omega$ist parallel zu$\vec \omega$wenn$\omega$ist entlang der Symmetrieachse gerichtet oder hat eine Nullkomponente entlang dieser Achse. Im dritten Fall$\mathrm I \vec \omega$ist parallel zu$\vec \omega$dann und nur dann, wenn$\vec \omega$parallel zu einer der Eigenachsen des Trägheitstensors ist.

Angenommen, der Trägheitstensor (wenn er orthogonalisiert ist) hat drei unterschiedliche Elemente und die Winkelgeschwindigkeit hat mindestens zwei Nicht-Null-Elemente, wenn sie in Bezug auf das Koordinatensystem ausgedrückt wird, das den Trägheitstensor orthogonal macht. In diesem Fall,

$$\begin{aligned} \mathrm I &= \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} \\ \vec \omega &= \phantom{\,\,\,0}\begin{bmatrix} \omega_a \\ \omega_b \\ \omega_c \end{bmatrix} \end{aligned}$$ wo $a$, $b$, $c$sind verschieden und mindestens zwei von $\omega_a$, $\omega_b$, und $\omega_c$sind ungleich Null. Das bedeutet, dass $$\mathrm I \vec \omega = \begin{bmatrix} a\, \omega_a \\ b\, \omega_b \\ c\, \omega_c \end{bmatrix}$$ kann nicht parallel sein $\vec \omega$.

Nachweisen:$\vec \omega$und$\mathrm I \vec \omega$sind nur dann parallel (oder antiparallel), wenn$\omega \times (\mathrm I \vec \omega)$ist der Nullvektor. Von oben ist dies

$$\omega \times (\mathrm I \vec \omega) = \begin{bmatrix} (b-c) \omega_b \omega_c \\ (c-a) \omega_c \omega_a \\ (a-b) \omega_a \omega_b \end{bmatrix}$$ Seit $a$, $b$, $c$sind unterschiedlich, jeder von $b-c$, $c-a$, und $a-b$ist ungleich Null. Da mindestens zwei von $\omega_a$, $\omega_b$, und $\omega_c$nicht Null sind, gibt es eine Kombination $\omega_i \omega_j$das ist nicht null. Somit gibt es mindestens ein Element dieses Vektors, das nicht Null ist.

Dies gilt nur, wenn das Trägheitsprodukt 0 ist.

Aus der Matrixalgebra wird durch Multiplizieren eines (nx 1)-Vektors (x) mit einer (nxn)-Matrix (A) die Vektorkomponenten in Eigenvektorrichtung durch jeweilige Eigenwerte skaliert.

$$Ax = b;$$ Wenn Eigenvektoren nicht mit Koordinaten des definierten Vektors ausgerichtet sind, hat der resultierende Vektor (b) nicht die gleiche Richtung wie x. Eigenvektoren werden nur dann an Koordinaten ausgerichtet, wenn nichtdiagonale Komponenten von A Null sind.