Ich habe ein paar Posts über diese Beziehung gesehen, aber keiner schien die Antwort darauf zu finden, wann das oben Gesagte gilt. Ich denke eher an Umlaufbahnen als an Rotationsbewegungen.
Der Ausdruck lässt sich leicht aus der Annahme einer gleichförmigen Kreisbewegung ableiten. Wenn ein Teilchen keine gleichmäßige kreisförmige Bewegung hat, was wird aus dieser Beziehung? Ich würde denken (bin mir aber überhaupt nicht sicher), dass dies immer noch gelten würde, um die momentane Winkelgeschwindigkeit eines Teilchens mit der Komponente seiner linearen Geschwindigkeit in Beziehung zu setzen, die senkrecht zum Positionsvektor des Teilchens von einem bestimmten Ursprungspunkt aus (um den es winkelt) steht Impuls berechnet wird) zu einem bestimmten Zeitpunkt.
Wie gilt das beispielsweise für elliptische Bahnen?
EDIT: Vielleicht hängt es zusammen, aber mein Dozent sagte auch, dass wir nur dann stabile Umlaufbahnen bekommen, wenn die kinetische Energie die Hälfte der potenziellen Energie beträgt (und / oder nicht kreisförmige Umlaufbahnen, dies war im Durchschnitt eine Umlaufbahn). Ich habe mich auch gefragt, warum dies der Fall ist, und festgestellt, dass es gilt, wenn ich annehme . Ich wäre auch dankbar, wenn, falls es sich um eine einfache Erweiterung der obigen Frage handelt, jemand dies ebenfalls erklären könnte.
Ein einfaches Diagramm hilft. Ihr Ausdruck hatte nur Größen - aber in Wirklichkeit sind alle drei Größen Vektoren (sogar Rotation!). Das bedeutet, dass Sie berücksichtigen müssen, dass sich die Geschwindigkeit ändert, wenn sich der Radius ändert.
Die momentane Position ist gegeben durch ; die Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung,
Sie können sich vorstellen, dass dies aus zwei Teilen besteht - der Radialgeschwindigkeit und der Tangentialgeschwindigkeit. Die Radialgeschwindigkeit ist rotationsunabhängig; die Tangentialgeschwindigkeit hängt von der momentanen Drehgeschwindigkeit ab.
Die eigentliche Gleichung lautet also
Wo ist der Einheitsvektor, der entlang des Positionsvektors zeigt.
Jetzt ist leicht zu erkennen, dass bei einer kreisförmigen Bewegung der erste Term Null ist (keine Längenänderung des radialen Vektors) - dann vereinfacht sich der Ausdruck zu dem, den Sie angegeben haben (obwohl meiner immer noch in Vektorform ist - was zeigt, dass die Geschwindigkeit steht im rechten Winkel sowohl zum Winkelgeschwindigkeitsvektor (der entlang der Rotationsachse zeigt) als auch zum radialen Vektor).
Also die kurze Antwort auf Ihre Frage: Der Ausdruck gilt, wenn sich der Abstand des Teilchens zur Rotationsachse nicht ändert.
Sie haben Recht, wenn Sie eine gleichmäßige kreisförmige Bewegung haben, können Sie diese Gleichung verwenden, aber der allgemeinste Ausdruck ist ein anderer, und er ist nicht so schwer zu verstehen.
Im Allgemeinen können Sie Ihr System (in 2 Dimensionen) immer mit zwei Vektoren definieren. Wir werden sie benennen als Normalenvektor und als Azimutvektor.
Die Ausdrücke dieser Vektoren sind:
Sie können sehen, dass . Wo Ist
Nun können Sie den Positionsvektor mit dem Normalenvektor als Konstante definieren multipliziert mit
Wenn Sie ableiten
Wenn sich Ihr Partikel also nicht in radialer Richtung bewegt, können Sie es machen = und du hast die Anfangsgleichung.
Aber bei elliptischen Bewegungen, wie Sie fragen, haben Sie Bewegungen in radialer Richtung, also den allgemeinsten Ausdruck für die lineare Geschwindigkeit ist derjenige demonstriert.
Den allgemeinsten Ausdruck für die Linearbeschleunigung erhält man auch, wenn man wieder die Geschwindigkeit herleitet und dabei berücksichtigt:
Ich hoffe, ich habe dir geholfen.