Kann Wirbel zerstört werden?

Ihr Professor hat recht, aber ich stimme Ihnen zu, dass die Aussage „Vorticity kann nicht zerstört oder erzeugt werden“ widersprüchlich erscheint – ich würde es vorziehen, dies als „Wirbelkraft wird konserviert“ zu betrachten, weil die Erhaltung der Vorticity von Navier-Stokes stammt Gl und die Erhaltung des Drehimpulses. Ich gebe zu, dass dies Terminologie-Haarspalterei ist (drängen Sie es nicht mit Ihrem Professor), aber ich denke, es hat mir geholfen.

Also, denke ich, kann ich das vielleicht als Analogie zum linearen Impuls verstehen, weil der lineare Impuls auch erhalten bleibt. Ich erinnere mich an das Problem eines Autos der Masse m, das mit der Geschwindigkeit v nach rechts fährt, und auf derselben Straße ein identisches Auto, das mit der Geschwindigkeit –v nach links fährt. Sie kollidieren frontal und zerschmettern und kleben zusammen. Geschwindigkeiten nach dem Crash – null. Schwung nach dem Crash – null und natürlich bleibt der Schwung erhalten. Der Gesamtimpuls des Systems war vorher und nachher null.

Angenommen, Ihr mit Wasser gefüllter Behälter ist ein langer Ring mit dicken Stahlwänden. Die Strömung ist anfänglich eine kreisförmige Strömung um die Achse (dh 2D-Strömung). Was ist der anfängliche Gesamtdrehimpuls des Systems? Schließlich hört die Flüssigkeit auf, sich zu bewegen, sodass der endgültige Gesamtdrehimpuls des Systems Null sein muss. Wie zeigen wir, dass der anfängliche Drehimpuls auch Null ist?

An dieser Stelle müssen Sie erkennen, dass der Wirbelvektor in der bewegten Flüssigkeit überall parallel zur Achse des Behälters ist. Und Sie müssen den Satz von Stokes verwenden, um eine Integralgleichung mit einem Linienintegral auf der linken Seite (der Zirkulation) und einem Oberflächenintegral auf der rechten Seite (über den Behälterquerschnitt integrierte Wirbel) zu schreiben.

Nehmen Sie Ihren Integrationspfad (den geschlossenen Pfad C) vollständig innerhalb der Stahlwand Ihres Containers. Die Geschwindigkeit innerhalb der Behälterwand ist immer null, und somit ist die Zirkulation entlang des Weges immer null, und somit ist auch die Gesamtverwirbelung über die Querschnittsfläche (die Fläche S) des Behälters und des Fluids immer null.

Mit einem ähnlichen Ansatz können Sie selbst berechnen, dass die Vorticity der Grenzschicht gleich und entgegengesetzt zur Volumenviskosität ist. Stellen Sie sich vor, der Behälter dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um seine Achse. Schließlich dreht sich das gesamte System aus viskoser Flüssigkeit und Behälter wie ein starrer Körper um die Achse. Jeder Punkt hat die gleiche Winkelgeschwindigkeit, und im Zentrum befindet sich nun ein Wirbel. Berechnen Sie die Zirkulation für jeden geschlossenen Pfad, der den Wirbel darin enthält – dies ist die Stärke des Wirbels sowie die Größe und das Vorzeichen der Wirbel in der Massenflüssigkeit. Sie können sich selbst zeigen, dass die Stärke dieses Wirbels die totale Verwirbelung ist. Berechnen Sie die Zirkulation um jeden Pfad, der den Wirbel nicht enthält, dies wird immer Null sein. Wählen Sie einen Pfad in der Nähe der Flüssigkeitsbehältergrenze, s', Die Hälfte davon befindet sich also in Flüssigkeit und die Hälfte in der Behälterwand. Solange sich Behälter und Flüssigkeit noch gemeinsam drehen, ist die Zirkulation um diesen Weg ebenfalls Null. Stoppen Sie nun die Drehung des Behälters. Die Flüssigkeit bewegt sich weiter. Berechnen Sie die Zirkulation um den Weg s' erneut, sie ist nicht mehr Null und ist die Wirbelstärke an der Grenzschicht. Sein Vorzeichen ist dem des Wirbels in der Mitte entgegengesetzt. Jeder Punkt entlang der Fluidgrenze kann mit einem Pfad wie s' und einer kleinen Menge an Grenzschichtwirbeln assoziiert werden. Integrieren Sie um die gesamte Grenze herum, und die Summe ist gleich groß und hat ein entgegengesetztes Vorzeichen zur Stärke des Wirbels in der Mitte. Schließlich diffundiert die Wirbelschicht der Grenzschicht zum Zentrum hin und vernichtet den Wirbel in der Mitte. Solange sich Behälter und Flüssigkeit noch gemeinsam drehen, ist die Zirkulation um diesen Weg ebenfalls Null. Stoppen Sie nun die Drehung des Behälters. Die Flüssigkeit bewegt sich weiter. Berechnen Sie die Zirkulation um den Weg s' erneut, sie ist nicht mehr Null und ist die Wirbelstärke an der Grenzschicht. Sein Vorzeichen ist dem des Wirbels in der Mitte entgegengesetzt. Jeder Punkt entlang der Fluidgrenze kann mit einem Pfad wie s' und einer kleinen Menge an Grenzschichtwirbeln assoziiert werden. Integrieren Sie um die gesamte Grenze herum, und die Summe ist gleich groß und hat ein entgegengesetztes Vorzeichen zur Stärke des Wirbels in der Mitte. Schließlich diffundiert die Wirbelschicht der Grenzschicht zum Zentrum hin und vernichtet den Wirbel in der Mitte. Solange sich Behälter und Flüssigkeit noch gemeinsam drehen, ist die Zirkulation um diesen Weg ebenfalls Null. Stoppen Sie nun die Drehung des Behälters. Die Flüssigkeit bewegt sich weiter. Berechnen Sie die Zirkulation um den Weg s' erneut, sie ist nicht mehr Null und ist die Wirbelstärke an der Grenzschicht. Sein Vorzeichen ist dem des Wirbels in der Mitte entgegengesetzt. Jeder Punkt entlang der Fluidgrenze kann mit einem Pfad wie s' und einer kleinen Menge an Grenzschichtwirbeln assoziiert werden. Integrieren Sie um die gesamte Grenze herum, und die Summe ist gleich groß und hat ein entgegengesetztes Vorzeichen zur Stärke des Wirbels in der Mitte. Schließlich diffundiert die Wirbelschicht der Grenzschicht zum Zentrum hin und vernichtet den Wirbel in der Mitte. Berechnen Sie die Zirkulation um den Weg s' erneut, sie ist nicht mehr Null und ist die Wirbelstärke an der Grenzschicht. Sein Vorzeichen ist dem des Wirbels in der Mitte entgegengesetzt. Jeder Punkt entlang der Fluidgrenze kann mit einem Pfad wie s' und einer kleinen Menge an Grenzschichtwirbeln assoziiert werden. Integrieren Sie um die gesamte Grenze herum, und die Summe ist gleich groß und hat ein entgegengesetztes Vorzeichen zur Stärke des Wirbels in der Mitte. Schließlich diffundiert die Wirbelschicht der Grenzschicht zum Zentrum hin und vernichtet den Wirbel in der Mitte. Berechnen Sie die Zirkulation um den Weg s' erneut, sie ist nicht mehr Null und ist die Wirbelstärke an der Grenzschicht. Sein Vorzeichen ist dem des Wirbels in der Mitte entgegengesetzt. Jeder Punkt entlang der Fluidgrenze kann mit einem Pfad wie s' und einer kleinen Menge an Grenzschichtwirbeln assoziiert werden. Integrieren Sie um die gesamte Grenze herum, und die Summe ist gleich groß und hat ein entgegengesetztes Vorzeichen zur Stärke des Wirbels in der Mitte. Schließlich diffundiert die Wirbelschicht der Grenzschicht zum Zentrum hin und vernichtet den Wirbel in der Mitte. Integrieren Sie um die gesamte Grenze herum, und die Summe ist gleich groß und hat ein entgegengesetztes Vorzeichen zur Stärke des Wirbels in der Mitte. Schließlich diffundiert die Wirbelschicht der Grenzschicht zum Zentrum hin und vernichtet den Wirbel in der Mitte. Integrieren Sie um die gesamte Grenze herum, und die Summe ist gleich groß und hat ein entgegengesetztes Vorzeichen zur Stärke des Wirbels in der Mitte. Schließlich diffundiert die Wirbelschicht der Grenzschicht zum Zentrum hin und vernichtet den Wirbel in der Mitte.

@Isopycnal_Oscillation weist zu Recht darauf hin, dass in 3D und insbesondere in der Nähe von turbulenten Bedingungen die Vorticity nicht erhalten bleibt. Der zweite Term auf der rechten Seite Ihrer „Transportgleichung“ besagt, dass das Dehnen und Neigen von Wirbelrohren auch die Vorticity verändern kann. Ich gehe jedoch davon aus, dass in den Vorlesungen, in denen Ihr Professor gerne sagt, dass „Wirbel nicht zerstört werden können“, turbulente Strömungen selten, wenn überhaupt, auftreten.

Schließlich erfordert die Annahme, dass die LHS Ihrer „Transportgleichung“ gleich Null ist, nicht unbedingt, dass die Flüssigkeit nichtviskos ist oder dass das Problem zweidimensional ist – Sie gehen davon aus, dass sich die Terme auf der RHS zufällig genau aufheben und die Wirbel zufälligerweise „stetig“ sind -Zustand.' Also ja, das ist eine sehr starke Annahme, die man akzeptieren sollte.

Vorticity kann sicherlich zerstört werden, dies ist die Grundlage der Energiekaskade in 3D-Turbulenz, wo Energie über den Wellenzahlraum von großen zu kleinen Skalen bis hinunter zur Kolmogorov-Skala geleitet wird, wo sie sich in Wärme auflöst. Dazu müssen Sie sich natürlich die vollständigen Gleichungen ansehen ... dieser Link sollte alle Ihre Fragen beantworten.

Vorticity ist in der Tat eine lineare Transformation des Impulses, der in isolierten Systemen erhalten bleibt. Wenn Ihr System also isoliert ist (keine Übertragung von Masse und Energie), bleiben Impuls, Masse, Energie und Wirbel erhalten. Andernfalls können Sie Vorticity durch die Grenzen übertragen. Das passiert mit Ihrem Tank bei anfänglicher Wirbelbildung. Weil es kein isoliertes System ist (es überträgt Impuls auf die Tankwände). Wenn Sie Ihren Tank auf eine rotierende Platte ohne Masse und ohne Reibung stellen und Luftreibung an der freien Oberfläche ausschließen, dreht sich Ihr Tank für immer mit der Flüssigkeit und die anfängliche Wirbelstärke der Flüssigkeit ist gleich der endgültigen Wirbelstärke der Flüssigkeit + Tank.

Die Wirbelstärke an der Grenzschicht ist nicht immer gleich der Wirbelstärke am Volumen. Dein Professor irrt sich. Stellen Sie sich Folgendes mit Ihrem Tank vor: Sie extrahieren einen Teil der anfänglichen Wirbel, um ein Rad ohne Reibung zu drehen. Mit der Logik Ihres Professors (Volumen- und Grenzwirbel heben sich auf). Aber dein Rad dreht sich immer noch! Woher kommt diese Energie?

Tatsächlich wird die Verwirbelung in der Flüssigkeit langsam abgelassen, indem Impuls durch die Grenzschicht auf die Wände des Tanks und damit auf die Erde übertragen wird, wenn der Tank nicht auf unserer reibungsfreien Platte liegt.

PS: Kein reales System ist wirklich isoliert. Aber Sie können sich Ihren Tank mit rutschfestem Zustand an den Wänden vorstellen. In diesem Fall gibt es keine Impulsübertragung durch die Grenzen und das Fluid breitet seine Wirbel weiter aus, bis es einen Zustand der Festkörperrotation erreicht, in dem das Oberflächenspannungsfeld identisch Null ist und somit der Zustand des Fluids nur durch Druckgradienten und ausgeglichen wird Zentrifugalkräfte. An diesem Punkt hört die Diffusion der Vorticity auf, wie Sie aus Ihrer Gleichung ersehen können. Aber der Gesamtbetrag war immer derselbe gewesen.

Verwirrung mit der Energiekaskade: Viele denken, dass Wirbel wegen der Energiekaskade und Dissipation oder wegen des Wirbeldehnungsterms zerstört oder erzeugt werden können$(\omega \cdot \nabla)\vec V$. Dies liegt daran, dass einige Autoren es als Wirbelproduktionsbegriff bezeichnen. Das ist irreführend. Was erzeugt oder zerstört werden kann, ist nicht Wirbel, sondern Enstrophie, die dem Impuls und der kinetischen Energie entspricht. Der Impuls bleibt erhalten und die kinetische Energie wird durch die Viskosität dissipiert. In ähnlicher Weise wird die Vorticity konserviert und die Enstrophie wird durch die Viskosität dissipiert. Ein weiterer wichtiger Punkt ist der Unterschied zwischen der Gleichung für die Entwicklung der Vorticity in einem materiellen Partikel oder einer Schleife als Zirkulation und dem Integral der Vorticity über den gesamten Bereich. Natürlich wird es sich in einem Teilchen im Allgemeinen ändern (wird zerstreut, gestreckt, geneigt), aber das Integral eines isolierten Systems bleibt dasselbe.

Ich bin gerade über diesen gestolpert, und da bisher keine klare Antwort gegeben wurde, werfe ich meinen Senf dazu:

Ihr Professor ist falsch, schlicht und einfach.

Die Grundgleichungen zeigen deutlich, dass die Vorticity in viskosen Strömungen weder im kompressiblen noch im inkompressiblen Fall erhalten bleibt. Im inkompressiblen 2-D-Fall sieht die Vorticity-Transportgleichung wie eine Konvektions-Diffusions-Gleichung aus, aber das ist irreführend. Im Allgemeinen wird an der Grenze Vorticity erzeugt, und Vorticity geht durch Dissipation im Inneren des Bereichs verloren. Im 3-D-Fall kann Vorticity auch durch nichtlineare Effekte (Vortex-Stretching) erzeugt werden.

Ich stelle fest, dass die in der ursprünglichen Frage angegebene Vorticity-Gleichung korrekt ist und daher (a) eindeutig nicht nur eine Konvektions-Diffusions-Gleichung ist und (b) dass eine durch eine Konvektions-Diffusions-Gleichung beschriebene Größe im Allgemeinen nicht erhalten bleibt.

Ich stelle nebenbei fest, dass einige der zuvor geposteten Materialien Wirbel mit Zirkulation oder der Existenz von Wirbeln verwechseln. Das sind unterschiedliche Konzepte.

PS: Die Aussage " Ich suche entweder einen Beweis, dass die Grenzschichtwirbel gleich und entgegengesetzt zu den Volumenwirbeln sind oder eine Gegenerklärung oder einen Beweis ." macht wirklich keinen sinn. Vorticity ist ein kontinuierliches Vektorfeld, und es gibt nur ein solches Feld. Der Begriff "Volumenviskosität" ist undefiniert.

Ich stimme den Kommentaren der oben genannten Person zu und möchte einige Anmerkungen machen. Die Zirkulation ist die aus der Vorticity abgeleitete Größe, die für barotrop erhalten bleibt ($\rho = \rho(P)$), ohne Viskose und ohne nicht konservative Kräfte. Dies gilt nicht für Wirbel, die durch Kompressibilität und nichtlineare Effekte innerhalb des Fluids verändert werden können. Ihr Professor hat möglicherweise unter besonderen Umständen über die Zirkulation gesprochen.

Denken Sie auch daran, dass Vorticity eher ein mathematisches Konzept ist. Der physikalischste Sinn für Wirbel würde von ihrer Größe herrühren, die doppelt so groß ist wie die Winkelgeschwindigkeit, und das ist genau das. Es sollte also nicht mit Wirbelablösung oder -erzeugung, Dissipation usw. verwechselt werden, die alle physikalische Aspekte der Strömung sind.