Warum dreht sich der Tee in der Mitte der Tasse schneller, wenn ich ihn umrühre?

Letztendlich erklären die Navier-Stokes-Gleichungen dies :)

OK, das ist keine nützliche Antwort: So erklären sie das Phänomen in einigen Fällen. Unter stationären Bedingungen für eine Flüssigkeit (nichtviskos, inkompressibel), die sich nicht zu sehr von einer Tasse Tee unterscheidet, zeigt die Vorticity Transport Equation , dass die Vorticity $\omega = \nabla \times \vec{v}$(die Kräuselung der Geschwindigkeit$\vec{v}$) tendiert im eingeschwungenen Zustand zu Null, wie in dieser Antwort hier näher erläutert wird .

Jetzt haben wir also einen potentiellen Fluss ; seit$\nabla\times\vec{v}\approx \vec{0}$wir können einstellen$v = -\nabla \phi$Wo$\phi$ist eine Potentialfunktion, und da die Kontinuitätsgleichung für eine inkompressible, stationäre Strömung dies erfordert$\nabla\cdot\vec{v}=0$, Wir müssen haben$\nabla^2\phi=0$. Also suchen wir jetzt nach einer axialsymmetrischen Lösung der Laplace-Gleichung mit konzentrischen Kreisen für Stromlinien. Das komplexe Potential für einen 2D-Wirbel ist ( siehe Wikipedia-Seite für "Potential Flow" ):

$$\Omega(z) = \frac{\Gamma}{2\,\pi\,i}\,\log z$$

Wo$z = x+i\,y$ist die 2D-Position in der Strömung und$\Gamma\in\mathbb{R}$die Zirkulation . Das implizite Geschwindigkeitsfeld (als komplexes Zahlenfeld) ist:

$$V(z) = (\mathrm{d}_z \Omega)* = -\frac{\Gamma}{2\,\pi\,i\,z^*} = \frac{\Gamma}{2\,\pi\,r} i\,e^{i\,\theta}$$

wobei wir nun den Positionsvektor in Polarkoordinaten schreiben$(r,\theta)$ dh die Geschwindigkeit (in Richtung von$i\,e^{i\,\theta}$senkrecht zum Positionsvektor steht$r\,e^{i\,\theta}$, und die Stromlinien sind konzentrische Kreise, die am Ursprung zentriert sind.

Das geht natürlich etwas drunter und drüber$r=0$und natürlich bricht die Beschreibung für kleine Werte zusammen$r$, aber Sie können sehen, dass es das Phänomen, das Sie in Ihrer Tasse Tee sehen, ziemlich gut beschreibt.

Fassen wir also die Physik zusammen, die oben zum Ausdruck kommt:

1. Das Fluid entwickelt sich in einen Zustand, in dem Fluidteilchen einen Spindrehimpuls von Null haben und$\nabla\times\vec{v}=0$; sie können natürlich einen Bahndrehimpuls haben, wie in einem Whirlpool;

2. Bei gegebener Inkompressibilität wird die Massenerhaltung im stationären Zustand durch ausgedrückt$\nabla.\vec{v}=0$;

3. Diese beiden Bedingungen erzwingen einen Potentialfluss:$\vec{v}=-\nabla\phi$Wo$\phi$ist harmonisch;

4. Schließlich definiert die kreisförmige Symmetrie des Problems eine einzigartige harmonische Funktion.

Wenn ich das richtig verstehe, dreht sich der Becher selbst nicht. Unter normalen Bedingungen impliziert dies, dass die lineare Geschwindigkeit der Flüssigkeit an der Grenze (der Wand des Bechers) gleich 0 ist (Suchen Sie nach „no-slip condition“ im Web für Erklärungen). Dies ist der Hauptgrund, warum sich die Flüssigkeit „in der Mitte schneller bewegt“.

Wenn Sie Ihren Tee besonders kräftig umrühren, können Sie außerdem einen Wirbel bilden, in dem sich die Flüssigkeit in der Nähe seines Zentrums wirklich viel schneller bewegt . Ein solcher Wirbel muss sich nicht notwendigerweise in der Mitte des Bechers befinden.

In der Tat "Das geht bei r = 0 natürlich ein bisschen drunter und drüber". Tatsächlich ist das ganze Argument nur ein Trick, um die Tatsache zu verbergen, dass unendliche Wirbel an der Achse eingefügt wurden – siehe Wirbel . Durch das Rühren des Tees haben Sie Wirbel eingeführt und es hilft nicht, sie in einer Singularität zu verstecken. Dennoch : "In Abwesenheit äußerer Kräfte entwickelt sich ein Wirbel normalerweise ziemlich schnell in Richtung des drehungsfreien Strömungsmusters, wo die Strömungsgeschwindigkeit v umgekehrt proportional zum Abstand r ist. Aus diesem Grund werden drehungsfreie Wirbel auch als freie Wirbel bezeichnet."

Die nächste Frage ist - warum?