Kinetische Energie einer massiven Feder

Angenommen, wir hätten ein Feder-Masse-System, bei dem nicht angenommen wird, dass die Feder masselos ist (Masse hat M ) und ist lang L . Ein Ende der Feder wird festgehalten und das andere Ende, denke ich, kann frei schwingen. Hier wird mir gesagt, dass die Feder als gleichmäßig angenommen wird und sich gleichmäßig dehnt. Wenn ich die kinetische Energie der Feder finden will, müssen wir einen Ausdruck dafür aufstellen

D T Frühling = 1 2 u 2 D M

Wo D T Frühling ist die kinetische Energie eines infinitesimalen Teils D M irgendwo entlang der Quelle und u ist die entsprechende Geschwindigkeit. Da die Feder einheitlich ist, kann ich ihre Massendichte finden

λ = D M D X ⟶ D M = λ D X = M L D X

so dass

D T Frühling = 1 2 u 2 M L D X

Der eine Schritt, den ich nicht verstehe, ist wie u = X L v , Wo v ist, denke ich, die Geschwindigkeit eines Punktes, der durch die Dehnung der Feder verschoben wurde (bitte korrigieren Sie mich hier, wenn ich falsch liege). Warum ist die Geschwindigkeit eines Stückes D M linear proportional zu v und wie kann ich diesen Ausdruck mathematisch ableiten, dh wenn u = a v , Wie finde ich a und warum? Etwas registriert sich nicht in meinem Kopf und ich habe das Gefühl, dass es damit zu tun hat, dass die Feder als gleichmäßig angenommen wird. Das wirft dann die Frage auf: Was wäre, wenn es nicht so wäre? Was würde ich in diesem Fall tun?

Ohne was zu sagen v ist, diese Frage kann nicht beantwortet werden. Ich weiß nicht, wo ich passen soll v weil ich nicht weiß was es ist.
Ich versuche das auch herauszufinden. Die wenigen Dinge, die ich über dieses Problem gelesen habe, werfen wir einfach weg v in den Ausdruck.
v ist die Geschwindigkeit des Federendes. Wenn Sie ersetzen X als L , du erhältst u = v . Aus der Definition von u du hast gegeben, v muss also die Geschwindigkeit des Federendes sein.
Hm gut wenn das was ist v Ich verstehe immer noch nicht, warum es linear proportional ist oder was zu tun ist, wenn das nicht der Fall wäre.
Schauen Sie sich eine "effektive Masse einer Feder" an en.m.wikipedia.org/wiki/Effective_mass_(spring –mass_system)

Antworten (1)

Stellen Sie sich vor, die Feder ist horizontal. Stellen Sie sich vor, dass es auf der linken Seite verankert ist

Beschreibe die linke Seite als x = 0. Beschreibe die rechte Seite als x = L.

Die Annahme ist, dass sich die Feder gleichmäßig dehnt. Wenn also die linke Seite verankert ist und sich die rechte Seite um 4 Fuß bewegt, muss sich die Mitte um 2 Fuß bewegen. Der Teil der Feder, der 1/4 des Weges von der linken Seite entfernt ist, bewegt sich um 1 Fuß und der Teil von Die Feder, die 3/4 des Weges von der linken Seite entfernt ist, muss sich bei 3 Fuß bewegen.

Mit diesem Argument könnten Sie die Verschiebung (den Betrag der Bewegung) jedes einzelnen Punktes auf der Feder als d(x) = (x/L)D beschreiben, wobei D die Entfernung ist, um die sich die rechte Seite bewegt hat. Das passt zur Annahme der gleichmäßigen Dehnung.

Jetzt können Sie die zeitliche Ableitung davon nehmen und einen Ausdruck für die Geschwindigkeit überall entlang der Feder als Funktion von x erhalten, mit der Geschwindigkeit auf der rechten Seite als Parameter.

Ich verstehe, also gleichmäßiges Dehnen bedeutet, dass alle D M 's sollten entsprechend gleichmäßig beabstandet sein X / L . Was passiert, wenn die Feder nicht gleichmäßig gedehnt wurde?
Wenn Sie nicht davon ausgehen können, dass es einheitlich ist, müssen Sie eine andere (nichtlineare) Beziehung für die Verschiebung als Funktion der Position entlang der Länge ... dann ersetzen Sie diese Beziehung durch die hier angegebene einfachere.
Kinetische Energie einer massiven Feder
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