Widerspruch zur schwingenden Masse [geschlossen]

Question

Widerspruch zur schwingenden Masse [geschlossen]

Tolga A.

Eine Perle schwingt in horizontaler Richtung, wie in der Abbildung gezeigt, unser Ziel ist es, die Kreisfrequenz der schwingenden Perle zu finden

Zunächst können wir das Potential schreiben als:

v (l) = \frac{1}{2} k \cdot l^{2}

$V(l)=\frac{1}{2}k\cdot l^2$ Hier

l = \sqrt{x^{2} + l_{0}^{2}} - l_{0}

$\quad l=\sqrt {x^2+l^2_0}\ \ - l_0 \quad$ Dann:

v (X) = \frac{1}{2} k \cdot {(\sqrt{X^{2} + l_{0}^{2}} - l_{0})}^{2}

$V(x) =\frac{1}{2}k\cdot \left(\sqrt {x^2+l^2_0}\ \ - l_0 \right)^2$ Nehmen Sie die zweite Ableitung davon:

v^{″} (X) = \frac{k (\sqrt{X^{2} + l_{0}^{2}} (- X^{4} - l_{0}^{2} X^{2}) + {(X^{2} + l_{0}^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 X^{2} + l_{0}^{2}) - l_{0}^{3} X^{2} - l_{0}^{5})}{{(X^{2} + l_{0}^{2})}^{\frac{5}{2}}}

$V''(x)= \dfrac{k\left(\sqrt{x^2+l_0^2}\left(-x^4-l_0^2x^2\right)+\left(x^2+l_0^2\right)^\frac{3}{2}\left(2x^2+l_0^2\right)-l_0^3x^2-l_0^5\right)}{\left(x^2+l_0^2\right)^\frac{5}{2}}$ unsere Gleichgewichtslage auf

x

$x$ Richtung ist

x_{e q} = 0

$x_{eq}=0$ dieses einstecken

ω = \sqrt{\frac{v^{″} (X_{e Q})}{M}}

$\omega = \sqrt\frac{V''(x_{eq})}{m}$ gibt:

ω = \sqrt{\frac{v^{″} (0)}{M}} = 0

$\omega = \sqrt\frac{V''(0)}{m} = 0$ Es scheint ein bisschen albern, weil es offensichtlich aussieht, dass es mit einer Winkelfrequenz ungleich Null oszillieren sollte. Gibt es eine Möglichkeit, diese Kreisfrequenz zu finden?

Tolga A.

@AaronStevens Danke für den Kommentar, ich habe die Ableitung auf dem Papier und auch auf Wolfram überprüft, um zu sehen, ob ich etwas übersehe, aber keine Fehler finden konnte. Arbeiten mit

l

$l$ scheint ein bisschen kompliziert, aber es ist einen Versuch wert.

Alfred Centauri

Tolga, ich kann mich darin irren, aber ich glaube, dass im Gegensatz zu der üblichen Vorschrift, kleine Verschiebungen zu betrachten, um einen Oszillator zu linearisieren, dies die Betrachtung großer Verschiebungen erfordert. Ich habe meine Antwort bearbeitet, um diesen Punkt anzusprechen.

Sammy Rennmaus

Mögliches Duplikat von Verständnis der Querschwingung in Systemen mit 1 Masse und 2 Federn

Sammy Rennmaus

Ihre Schlussfolgerung ist richtig: Die Kreisfrequenz für Schwingungen mit kleiner Amplitude (

A \to 0

$A\to 0$ ) ist null. Aus Ihrer Annahme folgt, dass die Spannung in der Feder in der Gleichgewichtslage Null ist. Wenn die Feder in der Gleichgewichtslage eine Spannung ungleich Null hat, erhalten Sie für kleine Amplituden eine Oszillationsfrequenz ungleich Null.

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Widerspruch zur schwingenden Masse [geschlossen]

@AaronStevens Danke für den Kommentar, ich habe die Ableitung auf dem Papier und auch auf Wolfram überprüft, um zu sehen, ob ich etwas übersehe, aber keine Fehler finden konnte. Arbeiten mit $l$ scheint ein bisschen kompliziert, aber es ist einen Versuch wert.
Tolga, ich kann mich darin irren, aber ich glaube, dass im Gegensatz zu der üblichen Vorschrift, kleine Verschiebungen zu betrachten, um einen Oszillator zu linearisieren, dies die Betrachtung großer Verschiebungen erfordert. Ich habe meine Antwort bearbeitet, um diesen Punkt anzusprechen.
Mögliches Duplikat von Verständnis der Querschwingung in Systemen mit 1 Masse und 2 Federn
Ihre Schlussfolgerung ist richtig: Die Kreisfrequenz für Schwingungen mit kleiner Amplitude ( $A\to 0$ ) ist null. Aus Ihrer Annahme folgt, dass die Spannung in der Feder in der Gleichgewichtslage Null ist. Wenn die Feder in der Gleichgewichtslage eine Spannung ungleich Null hat, erhalten Sie für kleine Amplituden eine Oszillationsfrequenz ungleich Null.

Alfred Centauri · Answer 1

Gibt es eine Möglichkeit, diese Kreisfrequenz zu finden?

Die Kraft aufgrund dieses Potentials ist

F = - k X (1 - \frac{l_{0}}{\sqrt{l_{0}^{2} + X^{2}}}) \approx - \frac{k}{2 l_{0}^{2}} X^{3}, X ≪ l_{0}

$F = -kx\left(1 - \frac{l_0}{\sqrt{l^2_0 + x^2}}\right)\approx -\frac{k}{2\,l^2_0}x^3,\quad x\ll l_0$

und somit ist dieses nichtlineare System im kleinen Auslenkungsbereich nicht näherungsweise linear, wie zB ein Pendel. Es scheint nicht wahrscheinlich, dass die Bewegung durch eine reine Sinuskurve der Winkelfrequenz beschrieben wird $\omega$

Nachdem ich noch etwas Kaffee getrunken hatte, fiel mir ein, dass die Kraft im Bereich der großen Verschiebung ungefähr gleich ist

F \approx - k X (1 - \frac{l_{0}}{\sqrt{X^{2}}}) \approx - k X, X ≫ l_{0}

$F \approx -kx\left(1 - \frac{l_0}{\sqrt{x^2}}\right)\approx -kx,\quad x\gg l_0$

Daher würde ich für eine ausreichend große Amplitude erwarten, dass die Bewegung ungefähr sinusförmig mit der Winkelfrequenz ist $\omega \approx \sqrt{k/m}$ . Es werden natürlich zusätzliche Frequenzkomponenten vorhanden sein, obwohl ich erwarten würde, dass diese relativ kleiner werden, wenn die Amplitude größer wird.

Ich erinnere mich an eine BJT-Gegentaktschaltung der Klasse B, bei der eine sogenannte Übergangsverzerrung auftritt, wenn ein Transistor „ausschaltet“ und der andere Transistor „einschaltet“. Die Spannungsübertragungskurve ist in diesem Bereich ziemlich nichtlinear, aber anderswo ziemlich linear.

Bildnachweis

Somit werden sinusförmige Eingangssignale mit kleiner Amplitude durch diese Schaltung stark verzerrt, aber der Verzerrungsgehalt des Ausgangssignals nimmt schnell ab, wenn die Eingangsamplitude zunimmt.

Ja, mir ist aufgefallen, dass es auch bei großen Hubräumen funktionieren würde, aber ich wusste nicht, wie ich damit umgehen sollte. Sehr cool.

Biophysiker · Answer 2

Das Problem ist, dass Ihre Kraft nahe dem Gleichgewicht nicht linear ist, sodass wir das System nicht als einfachen harmonischen Oszillator annähern können.

Ihre horizontale Kraft ist

F_{X} = \frac{- k X (\sqrt{X^{2} + l_{0}^{2}} - l_{0})}{\sqrt{X^{2} + l_{0}^{2}}} = - k X + \frac{k X l_{0}}{\sqrt{X^{2} + l_{0}^{2}}}

$F_x=\frac{-kx\left(\sqrt{x^2+l_0^2}-l_0\right)}{\sqrt{x^2+l_0^2}}=-kx+\frac{kxl_0}{\sqrt{x^2+l_0^2}}$

Leider wird dies Ihr Problem nicht los, da $\frac{dF}{dx}=0$ Wenn $x=0$ , so nah $x=0$ (oder $x\ll l_0$ ) Die Kraft ist nicht linear (dh sieht nicht so aus $F=-kx$ für $k\neq0$ ). Daher ist Ihre Schlussfolgerung richtig. Es bedeutet nur, dass wir keine Größe finden können, die eine Winkelfrequenz für SHM darstellt.

Beachten Sie, dass im Allgemeinen nur, weil die Kraft selbst nicht von der Form ist $F=-kx$ bedeutet nicht, dass wir die Kraft nicht annähern können, um diese Form nahe dem Gleichgewicht zu haben. Leider kann die Kraft für diesen speziellen Fall nicht auf diese Weise angenähert werden.

Tal · Answer 3

Beachten Sie, dass die Formel, die Sie verwenden, für $\omega$ geht von einer einfachen harmonischen Bewegung aus, und das von Ihnen verwendete Potenzial führt nicht zu einer einfachen harmonischen Bewegung.

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Tolga A.

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Biophysiker

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