Können die Impuls-Eigenzustände nicht-orthogonal sein?

Betrachten Sie den Hilbert-Raum eines Teilchens, dessen Ortsdomäne beschränkt ist Q ∈ [ 0 , 1 ] (zB ein Partikel in einer Box mit Einheitsbreite). Verwenden

1 = ∫ 0 1 D Q | Q ⟩ ⟨ Q |
und die Ortsdarstellung der diskreten Impuls-Eigenzustände
⟨ Q | P N ⟩ = e ich π N Q ,
Einfügen des obigen Identitätsoperators und Integrieren führt zum Skalarprodukt
⟨ P N | P M ⟩ = ( − 1 ) M − N − 1 ich π ( M − N ) ≠ δ N M .

Dies würde bedeuten, dass die Eigenbasis einer physikalischen Observablen nicht orthogonal ist. Gibt es einen Fehler in meiner Herleitung, und wenn nicht, wie ist dieser physikalisch zu verstehen?

Auch dies hat nichts mit der Dirac-Notation zu tun. Nur dein ∫ D P | P ⟩ ⟨ P | muss ein werden ∑ N | P N ⟩ ⟨ P N | , und die entsprechenden Dirac-Deltas werden zu Kroneckers und so weiter. Es ist wirklich kein Problem der Notation, sondern dass Sie Zustände verwenden, die nicht vorhanden sind - hier gibt es keine kontinuierlichen Impulse, sodass Sie nicht über sie integrieren können.
@ACuriousMind Ich habe diesen Punkt wirklich verstanden. In meiner Frage überlege ich auch schon, die diskrete Basis zu verwenden. Der Punkt ist, dass mit ∑ N | P N ⟩ ⟨ P N | löst das Problem immer noch nicht mit ⟨ P N | P M ⟩ ≠ δ N M . Diese Berechnung ist unabhängig vom Impulsprojektor.
@ACuriousMind Der einzige Weg, den ich für den fehlenden Faktor sehe 2 wäre es, die Impuls-Eigenwerte zu verwenden P N = N 2 π ℏ anstatt P N = N π ℏ . Allerdings für die Masse 2 M = 1 , das Energiespektrum ist E N = ( N π ℏ ) 2 Und E N = P N 2 , also sollte alles stimmen.
Es tut mir leid, dass ich Sie verärgert habe. Sehen Sie sich diese alte Frage und/oder dieses Papier an . Sie stellen richtig fest, dass die Impulszustände keine echten Eigenvektoren sind, daher ist es tief im Inneren einfach nicht möglich, ihr Skalarprodukt zu nehmen (weil sie hier wahrscheinlich zum größeren Raum im Gelfand-Tripel gehören ) .

Antworten (2)

Dies würde bedeuten, dass die Eigenbasis einer physikalischen Observablen nicht orthogonal ist. Gibt es einen Fehler in meiner Herleitung, und wenn nicht, wie ist dieser physikalisch zu verstehen?

Die Menge der Eigenfunktionen von P ^ im Sinne von

P ^ ϕ = P ϕ
ist sicher orthogonal, wenn sie zu einer Teilmenge von gehören L 2 ( ( 0 , 1 ) ) auf dem der Betreiber P ^ ist symmetrisch, was bedeutet

∫ 0 1 ϕ 1 ∗ P ^ ϕ 2 D Q = ∫ 0 1 ( P ^ ϕ 1 ) ∗ ϕ 2 D Q
für zwei beliebige Funktionen der Teilmenge.

Der Impulsoperator P ^ = − ich ℏ ∂ / ∂ Q An ( 0 , 1 ) ist nur für eine Teilmenge von Eigenfunktionen symmetrisch e ich P Q / ℏ die günstigen Randbedingungen gehorchen (mit dem richtigen Wert von P - siehe Ruslans Antwort) ist diese Teilmenge von Eigenfunktionen orthogonal und bildet eine Basis der Teilmenge.

Für die meisten Eigenfunktionen e ich Q P / ℏ , jedoch der Betreiber P ^ ist nicht symmetrisch und es gibt keine Orthogonalität.

Danke, das war das fehlende Teil, das ich brauchte! Lassen Sie mich anmerken, dass auf algebraischer Ebene bereits klar wird, dass die | P N ⟩ gehören zu einem "größeren" Hilbertraum, als ihre Ortsdarstellung ⟨ Q | P N ⟩ = e ich π N Q verletzt die Box-Randbedingungen. Sie sind also nicht in derselben Weise orthogonal wie zwei orthogonale Vektoren u , v , ∈ R 3 sind nicht unbedingt, wenn sie projiziert werden, irgendeine niederdimensionale Mannigfaltigkeit.
Ich habe die Antwort verbessert, nachdem ich Ruslans Erwähnung periodischer Randbedingungen gelesen habe.

Der Impuls ist dann erhalten, wenn der Hamiltonoperator translationssymmetrisch ist. Übliche Randbedingungen wie homogene Dirichlet- oder Neumann-Bedingungen lassen eine solche Symmetrie nicht zu. Aber es gibt immer noch bestimmte Bedingungen, die es dem Hamilton-Operator ermöglichen, Translationssymmetrie auf dem beschränkten Bereich zu haben: Born-von-Karman-Randbedingungen .

Also in der Kiste Q ∈ [ 0 , 1 ] der Impulsoperator P ^ = − ich ∂ Q ist selbstadjungiert, wenn Sie Born-von-Karman-Randbedingungen verwenden, dh Bedingungen der Periodizität der Wellenfunktion:

ψ ( 0 ) = ψ ( 1 ) ,
ψ ' ( 0 ) = ψ ' ( 1 ) .

Dann hat sie eine Menge orthonormaler Eigenfunktionen

ϕ P ( Q ) = e ich P Q

mit P = 2 π N .

Alle anderen Randbedingungen geben Ihnen keine orthogonalen Eigenfunktionen. Tatsächlich ist die zweite Bedingung irrelevant, weil der Operator eine Ableitung erster Ordnung ist, also eine eigenequation P ^ ϕ ( Q ) = P ϕ ( Q ) ist eine Differentialgleichung erster Ordnung, die nur einen freien Parameter hat. Dies ist einer der Gründe, warum man nicht die üblichen zwei Randbedingungen wie im Dirichlet- oder Neumann-Fall auferlegen kann.

Stimmt, aber welchen Grund gibt es anzunehmen ψ ( 0 ) = ψ ( 1 ) ? Die beiden Punkte beziehen sich schließlich auf einen ganz anderen Zustand.
@JánLalinský Dies ist erforderlich, um die Periodizität sicherzustellen, die wiederum für die Translationssymmetrie erforderlich ist, damit der Impuls erhalten bleiben kann. Ohne Translationssymmetrie gibt es keine Chance, Zustände mit definiertem Impuls zu haben.
Können die Impuls-Eigenzustände nicht-orthogonal sein?
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