Könnte die Schrödinger-Gleichung nichtlinear sein?

Es gibt nichtlineare Versionen der Schrödinger-Gleichung, die für Ihre Frage völlig irrelevant sind. Diese sind wie die Gross-Pitaevski-Gleichung, sie sind nichtlineare klassische Feldgleichungen, die die Strömung eines selbstwechselwirkenden Suprafluids oder BEC beschreiben. Diese Gleichungen haben nichts mit der Entwicklung von Wahrscheinlichkeitsamplituden zu tun, und ich werde sie nicht weiter betrachten.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist exakt linear

Um zu verstehen, warum das Konzept einer nichtlinearen Gleichung für Wahrscheinlichkeitsamplituden nicht vernünftig und höchstwahrscheinlich völlig unmöglich ist, betrachten Sie zunächst die klassische Wahrscheinlichkeit. Angenommen, ich habe eine klassische Bewegungsgleichung der Form

wobei das Vektorfeld V das zukünftige Verhalten als Strömung im Phasenraum beschreibt, koordiniert durch x. Jetzt kann ich fragen, was die Entwicklung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist$\rho(x)$, wenn mir die Ausgangslage unvollständig bekannt ist.

Die Evolutionsgleichung wird bestimmt, indem die Wahrscheinlichkeit berücksichtigt wird, in einem Kästchen um x' zu enden. Diese Wahrscheinlichkeit ist die Summe aller möglichen Pfade, die zu x' mal der Wahrscheinlichkeit führen, am Anfang des Pfades zu stehen. Diese Summe ergibt die Wahrscheinlichkeitsgleichung:

Der Punkt ist, dass diese Gleichung aus fundamentalen Gründen genau linear ist. Es ist unmöglich, sich einen nichtlinearen Term in der Evolutionsgleichung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung vorzustellen, weil die eigentliche Definition von Wahrscheinlichkeit ein Mangel an Informationen ist, wie sie durch einen linearen Raum dargestellt werden.

Beachten Sie, dass klassische Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem gesamten Phasenraum definiert sind, es sich also um enorme dimensionale lineare Gleichungen handelt, die die nichtlineare Dynamik vollständig enthalten, wenn Sie sich auf scharfe Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Deltafunktionen auf x beschränken. Der einzige Unterschied zur Quantenmechanik besteht darin, dass es keine scharfen Verteilungen der Delta-Funktion gibt, wenn nicht-kommutierende Observablen auf allen Observablen vorhanden sind. Ansonsten sind die beiden Arten von Beschreibungen ähnlich

Die Quantenmechanik mischt Amplituden und Wahrscheinlichkeiten

Wenn Sie ein quantenmechanisches System haben, mischt sich die Wellenfunktion auf nichttriviale Weise mit der klassischen Wahrscheinlichkeit. Betrachtet man ein Quantensystem aus zwei verschränkten Teilchen mit Spin 1/2 in einem Spinsingulett, so ist die Projektion der Wellenfunktion auf eines der beiden Teilchen eine Dichtematrix, was eine klassische Wahrscheinlichkeit darstellt.

Es ist äußerst wichtig, dies beizubehalten, da die Wahrscheinlichkeiten nicht lokal korreliert sind. Wenn es also eine Möglichkeit gäbe, die weit entfernte Komponente der Spinwellenfunktion zu extrahieren, könnten Sie dies mit ziemlicher Sicherheit verwenden, um schneller als Licht zu signalisieren, weil Sie kann die Wellenfunktion dort zusammenbrechen, wo Sie sich befinden, und die weit entfernte Dichtematrix hätte dann keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation.

Diese Arten von nichtlinearen Theorien sind so schwer vorstellbar, dass Weinberg in den 1960er Jahren vorschlug, dass die Quantenmechanik absolut keine Verformung jeglicher Art aufweist, die mit Nicht-Signalisierung vereinbar ist. Obwohl diese Vermutung nicht bewiesen ist, ist sie meines Wissens sicherlich plausibel, und es gibt keine nichtlinearen Verformungen, die als Gegenbeispiele dienen könnten (der Link zu diesem Artikel wurde gerade gepostet, während ich schreibe, von Oda).

Es ist falsch zu glauben, dass es eine nichtlineare Verformung der Schrödinger-Amplitudengleichung gibt. Solche Modifikationen existieren nicht und können es mit ziemlicher Sicherheit auch nicht geben. Wenn die Welt einer solchen Gleichung mit einer winzigen Nichtlinearität gehorchen würde, würden verschiedene Everett-Zweige interagieren, und wir wären in der Lage, die Geister unseres anderen Selbst und anderen Unsinn zu sehen. Es würde jede Form der Interpretation der Wellenfunktion durch verborgene Variablen ausschließen und es würde mit ziemlicher Sicherheit zu Verletzungen der Nicht-Signalisierung führen.

@Ron Maimon hat die kanonische Antwort darauf gegeben: Die Wellenfunktion sind Wahrscheinlichkeiten, und um Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, muss man eine lineare Gleichung haben (tatsächlich auch einen normerhaltenden Evolutionsoperator).

Ich biete einen anderen Standpunkt an, in dem Stil, wie Einstein über Relativität dachte, dh zwei Postulate. Das Postulat ist, dass es nicht möglich ist, NP-vollständige Probleme in polynomieller Zeit zu lösen. Abraham und Lloyd zeigten, dass dies möglich wäre, wenn die Quantenmechanik überhaupt nichtlinear wäre.

Aaronson hat eine nette Abhandlung, deren Anfang auf eine große Literatur verweist, warum die Quantenmechanik so sein muss, wie sie ist.

Zusätzlich zu dem oben zitierten klassischen Weinberg-Artikel gibt es diese kürzere Version , und dann Fortsetzungen von Peres 1989 darüber, wie es gegen das 2. Gesetz verstößt, von Gisin darüber, wie es superluminale Kommunikation ermöglicht, und von Polchinski darüber, wie es eine ' Everetts Telefon.

In jüngerer Zeit gibt es dieses mathematische Argument gegen nichtlineare QM von Kapustin .

Physiker mögen Linearität, weil sie einfacher ist. Sicher haben Sie den Witz vom Physiker und der kugelförmigen Kuh gehört . Zum Glück für uns sind die interessanteren Phänomene in der Natur nichtlinear.

Es gibt mehrere Gründe, nichtlineare Erweiterungen der Schrödinger-Gleichung in Betracht zu ziehen, der grundlegendste für mich ist, dass die klassische Mechanik dies erfordert!. In der Tat können wir mit der Hamilton-Jacobi-Formulierung die klassische Mechanik in einen wellenförmigen Formalismus gießen

was eine nichtlineare Gleichung ist, da$Q=Q(\Psi)$. Gerade seine Nichtlinearität bricht das Superpositionsprinzip und ermöglicht die Beschreibung klassischer Systeme. Es ist nicht verwunderlich, dass die in Dekohärenz und Klassizität arbeitende Quantengemeinschaft nichtlineare Schrödinger-Gleichungen generischer Form verwendet

mit nichtlinearem Operator$\hat{G} = \hat{H} + \mathrm{nonlinear{-}corrections}$. Es ist erwähnenswert, dass die nichtlinearen Terme so gewählt werden können, dass die Norm des Zustandsvektors erhalten bleibt$||\Psi||^2$. Das heißt, die Behauptung, Linearität sei obligatorisch, um Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, ist falsch.

Obwohl es keine sehr befriedigende (oder informative) Antwort ist, sind nichtlineare Gleichungen mühsam zu lösen, daher ziehen wir es vor, sie nach Möglichkeit zu vermeiden. Es macht Sinn, dass die erste(n) Gleichung(en), die zur Beschreibung von Quantensystemen entwickelt wurde(n), linear wäre, einfach weil sie die einfachsten sind.

Davon abgesehen gibt es keinen Grund dafür, dass die „wahre“ Theorie, die dem QM zugrunde liegt, linear sein müsste. Tatsächlich wird aus genau dem Grund, den Sie angegeben haben (dh dass die allgemeine Relativitätstheorie nichtlinear ist), allgemein angenommen, dass wir eine Art nichtlineare Theorie benötigen, um das Universum auf seiner grundlegendsten Ebene richtig zu erklären.