Basiswechsel in der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung

Question

Basiswechsel in der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung

Physik
Quantenmechanik
nichtlineare Systeme
Festkörperphysik
Schrödinger-Gleichung
Bose-Einstein-Kondensat

Andrej

Auf der mittleren Feldebene kann die Dynamik eines Polariton-Kondensats durch eine Art nichtlineare Schrödinger-Gleichung (Gross-Pitaevskii-Typ) für eine klassische (komplexzahlige) Wellenfunktion beschrieben werden $\psi_{LP}$ . Seine Form im Impulsraum lautet:

\begin{matrix} ich \frac{D}{D T} ψ_{L P} (k) = [ϵ (k) - ich \frac{γ (k)}{2}] ψ_{L P} (k) + F_{P} (k) e^{- ich ω_{P} T} \\ + \sum_{Q_{1}, Q_{2}} G_{k, Q_{1}, Q_{2}} ψ_{L P}^{⋆} (Q_{1} + Q_{2} - k) ψ_{L P} (Q_{1}) ψ_{L P} (Q_{2}) . \end{matrix}

$\begin{multline} i \frac{d}{dt}\psi_{LP}(k) =\left[\epsilon(k) -i\frac{\gamma(k)}{2}\right] \psi_{LP}(k) +F_{p}(k)\,\, e^{-i\omega_{p}t} \\ + \sum_{q_1,q_2} g_{k,q_1,q_2}\, \psi^{\star}_{LP}(q_1+q_2-k) \, \psi_{LP}(q_1)\, \psi_{LP}(q_2). \end{multline}$

Die Funktion $\epsilon(k)$ ist die Dispersion der Teilchen (Polaritonen). Die Polaritonen sind aufgrund ihrer endlichen Lebensdauer (Dämpfungsrate) ein Nichtgleichgewichtssystem $\gamma$ ). Daher müssen sie kontinuierlich mit Amplitude gepumpt werden $F_p$ bei Energie $\omega_p$ . Schließlich existiert eine impulsabhängige nichtlineare Wechselwirkung $g_{k,q_1,q_2}$ das hängt von den sogenannten Hopfield-Koeffizienten ab $X$ (einfache Impulsfunktionen) als:

G_{k, Q_{1}, Q_{2}} = G X^{⋆} (k) X^{⋆} (Q_{1} + Q_{2} - k) X (Q_{1}) X (Q_{2})

$\begin{equation} g_{k,q_1,q_2}=g\, X^{\star}(k)\, X^{\star}(q_1+q_2-k)\, X(q_1)\, X(q_2) \end{equation}$

Wie kann man die Gleichung umformen für $\psi$ in den realen Raum?

Lagerbär

Meine Intuition und mein erster Versuch wäre zu schreiben

ψ_{L P} (k) = \int d x e^{i k x} ψ_{L P} (x)

$\psi_{LP}(k) = \int dx e^{ikx} \psi_{LP}(x)$ und setze das in die Gleichung ein.

Andrej

Danke @Lagerbaer, ich bin deinem Vorschlag gefolgt und habe

\int d x e^{- i k x} i \frac{d}{d t} ψ_{L P} (x) = \int d x [ϵ (k) - i \frac{γ (k)}{2}] e^{- i k x} ψ_{L P} (x) + F_{p} (k) e^{- i ω_{p} t} + \int d x_{3} d x_{1} d x_{2} \sum_{q_{1}, q_{2}} g_{k, q_{1}, q_{2}} e^{i (q_{1} + q_{2} - k) x_{3}} ψ_{L P}^{⋆} (x_{3}) e^{- i q_{1} x_{1}} ψ_{L P} (x_{1}) e^{- i q_{2} x_{2}} ψ_{L P} (x_{2})

$\int dxe^{-ikx}i\frac{d}{dt}\psi_{LP}(x)=\int dx\left[\epsilon(k)-i\frac{\gamma(k)}{2}\right]e^{-ikx}\psi_{LP}(x)+F_{p}(k)\,\, e^{-i\omega_{p}t}+\int dx_{3}dx_{1}dx_{2}\sum_{q_{1},q_{2}}g_{k,q_{1},q_{2}}\, e^{i(q_{1}+q_{2}-k)x_{3}}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\, e^{-iq_{1}x_{1}}\psi_{LP}(x_{1})\, e^{-iq_{2}x_{2}}\psi_{LP}(x_{2})$ . Was jetzt :) ?

Lagerbär

Die allgemeine Idee ist dann, "Koeffizienten zu vergleichen": Da die ebenen Wellen linear unabhängige Funktionen sind, müssen die linke Seite und die reitende Seite koeffizientenmäßig übereinstimmen. Aber wenn ich mir anschaue, was Sie haben, bin ich mir nicht sicher, ob mein naiver Ansatz funktioniert :-(

Antworten (2)

Basiswechsel in der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung

Meine Intuition und mein erster Versuch wäre zu schreiben $\psi_{LP}(k) = \int dx e^{ikx} \psi_{LP}(x)$ und setze das in die Gleichung ein.
Danke @Lagerbaer, ich bin deinem Vorschlag gefolgt und habe $\int dxe^{-ikx}i\frac{d}{dt}\psi_{LP}(x)=\int dx\left[\epsilon(k)-i\frac{\gamma(k)}{2}\right]e^{-ikx}\psi_{LP}(x)+F_{p}(k)\,\, e^{-i\omega_{p}t}+\int dx_{3}dx_{1}dx_{2}\sum_{q_{1},q_{2}}g_{k,q_{1},q_{2}}\, e^{i(q_{1}+q_{2}-k)x_{3}}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\, e^{-iq_{1}x_{1}}\psi_{LP}(x_{1})\, e^{-iq_{2}x_{2}}\psi_{LP}(x_{2})$ . Was jetzt :) ?
Die allgemeine Idee ist dann, "Koeffizienten zu vergleichen": Da die ebenen Wellen linear unabhängige Funktionen sind, müssen die linke Seite und die reitende Seite koeffizientenmäßig übereinstimmen. Aber wenn ich mir anschaue, was Sie haben, bin ich mir nicht sicher, ob mein naiver Ansatz funktioniert :-(

BebopButUnsteady · Answer 1

Die linearen Terme scheinen Sie handhaben zu können. Als allgemeiner Ratschlag ist die Bedeutung dieser Begriffe immer klar, wenn sie über die Impulskoordinaten jedes der Felder integriert werden, wobei Delta-Funktionen verwendet werden, um den Wert zu erhalten. Der nichtlineare Term wäre also

\sum_{Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}} G (Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}) ψ (Q_{1})^{*} ψ (Q_{2}) ψ (Q_{3}) δ (- Q_{1} + Q_{2} + Q_{3} - k)

$\sum_{q_1,q_2,q_3} g(q_1,q_2,q_3) \psi(q_1)^*\psi(q_2)\psi(q_3)\delta(-q_1+q_2+q_3 -k)$

Vielleicht sieht man auch so, dass die Struktur durch Impulserhaltung/Translationsinvarianz bestimmt ist. Wenn ich das jetzt integriere durch $\int\!dk\,e^{ikr}$ , Die $k$ Integral wird trivial aufgelöst und ich habe Fourier-Transformationen über die $q$ S. Da Fourier-Transformationen die Multiplikation zur Faltung führen, können Sie berechnen, dass wir erhalten

\int D R_{123} \tilde{G} (R - R_{1}, R - R_{2}, R - R_{3}) {\tilde{ψ}}^{*} (R_{1}) \tilde{ψ} (R_{2}) \tilde{ψ} (R_{3})

$\int dr_{123}\,\tilde{g}(r-r_1,r-r_2,r-r_3)\tilde{\psi}^*\!(r_1)\tilde{\psi}(r_2)\tilde{\psi}(r_3)$

Dies ist mehr oder weniger der allgemeinste nichtlineare Term dritter Ordnung, den Sie schreiben können. In Ihrem Fall können Sie dies auch weiter reduzieren, indem Sie die Realraumtransformationen von verwenden $X$ , entweder durch direktes Einstecken in die erste Gleichung, die ich geschrieben habe, oder durch Berechnung $\tilde{g}$ und in den zweiten einstecken.

Andrej · Answer 2

Hier ist mein Antwortversuch, dem Vorschlag von @Lagerbaer folgend. Wir ersetzen zuerst die Fourier-Transformation für $\psi_{LP}(k)$ ,

ψ_{L P} (k) = \int D X e^{- ich k X} ψ_{L P} (X),

$\begin{equation} \psi_{LP}(k)=\int dxe^{-ikx}\psi_{LP}(x), \end{equation}$

und bekomme

\begin{matrix} \int D X e^{- ich k X} ich \frac{D}{D T} ψ_{L P} (X) = \int D X [ϵ (k) - ich \frac{γ (k)}{2}] e^{- ich k X} ψ_{L P} (X) \\ + F_{P} (k) e^{- ich ω_{P} T} + \int D X_{3} D X_{1} D X_{2} \\ \times \sum_{Q_{1}, Q_{2}} G_{k, Q_{1}, Q_{2}} e^{ich (Q_{1} + Q_{2} - k) X_{3}} ψ_{L P}^{⋆} (X_{3}) e^{- ich Q_{1} X_{1}} ψ_{L P} (X_{1}) e^{- ich Q_{2} X_{2}} ψ_{L P} (X_{2}) . \end{matrix}

$\begin{multline} \int dxe^{-ikx}i\frac{d}{dt}\psi_{LP}(x)=\int dx\left[\epsilon(k)-i\frac{\gamma(k)}{2}\right]e^{-ikx}\psi_{LP}(x)\\+F_{p}(k)\,\, e^{-i\omega_{p}t} +\int dx_{3}dx_{1}dx_{2}\\ \times \sum_{q_{1},q_{2}}g_{k,q_{1},q_{2}}\, e^{i(q_{1}+q_{2}-k)x_{3}}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\, e^{-iq_{1}x_{1}}\psi_{LP}(x_{1})\, e^{-iq_{2}x_{2}}\psi_{LP}(x_{2}). \end{multline}$

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, müssen wir die inverse Transformation auf beide Seiten anwenden (multiplizieren mit $\int dke^{ikx}$ ), erhalten

\begin{matrix} ich \frac{D}{D T} ψ_{L P} (X) = \int D X^{'} ψ_{L P} (X^{'}) \int D k [ϵ (k) - ich \frac{γ (k)}{2}] e^{ich k (X - X^{'})} + F_{P} e^{ich (k_{P} X - ω_{P} T)} \\ + \int D k e^{ich k X} \int D X_{3} D X_{1} D X_{2} \\ \times \sum_{Q_{1}, Q_{2}} G_{k, Q_{1}, Q_{2}} e^{ich (Q_{1} + Q_{2} - k) X_{3}} ψ_{L P}^{⋆} (X_{3}) e^{- ich Q_{1} X_{1}} ψ_{L P} (X_{1}) e^{- ich Q_{2} X_{2}} ψ_{L P} (X_{2}) . \end{matrix}

$\begin{multline} i\frac{d}{dt}\psi_{LP}(x)=\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dk\left[\epsilon(k)-i\frac{\gamma(k)}{2}\right]e^{ik(x-x^{\prime})}+F_{p}e^{i(k_{p}x-\omega_{p}t)}\\ +\int dke^{ikx}\int dx_{3}dx_{1}dx_{2}\\ \times\sum_{q_{1},q_{2}}g_{k,q_{1},q_{2}}\, e^{i(q_{1}+q_{2}-k)x_{3}}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\, e^{-iq_{1}x_{1}}\psi_{LP}(x_{1})\, e^{-iq_{2}x_{2}}\psi_{LP}(x_{2}). \end{multline}$

Nun betrachten wir ein Integral der Form $\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dkf(k)e^{ik(x-x^{\prime})}$ , für eine generische Funktion $f(k)$ . Wir erweitern unsere generische Funktion um eine Taylor-Reihe herum $k=0$ , und bekomme:

\sum_{N = 0}^{\infty} \frac{F^{(N)} (0)}{N!} \int D X^{'} ψ_{L P} (X^{'}) \int D k k^{N} e^{ich k (X - X^{'})} = \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{F^{(N)} (0)}{N!} {(- ich)}^{N} \int D X^{'} ψ_{L P} (X^{'}) \partial_{X}^{N} δ (X - X^{'})

$\begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dkk^{n}e^{ik(x-x^{\prime})}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\left(-i\right)^{n}\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\partial_{x}^{n}\delta(x-x^{\prime}) \end{equation}$

wobei wir die bekannte Beziehung verwendet haben $\int dkk{}^{n}e^{ik(x-x^{\prime})}=\left(-i\right)^{n}\partial_{x}^{n}\delta(x-x^{\prime})$ .

Verschieben des Ableitungsoperators zum Handeln $\psi$ (partielle Integration) erhalten wir schließlich

\int D X^{'} ψ_{L P} (X^{'}) \int D k F (k) e^{ich k (X - X^{'})} = \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{F^{(N)} (0)}{N!} (ich \partial_{X})^{N} ψ_{L P} (X) = F (ich \partial_{X}) ψ_{L P} (X)

$\begin{equation} \int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dkf(k)e^{ik(x-x^{\prime})}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(i\partial_{x})^{n}\psi_{LP}(x)=f(i\partial_{x})\psi_{LP}(x) \end{equation}$

Daher vereinfacht sich der erste Term auf der rechten Seite unserer Gleichung zu $\left[\epsilon(i\partial_{x})-i\frac{\gamma(i\partial_{x})}{2}\right]\psi_{LP}(x)$ und wir müssen uns noch mit dem Interaktionsterm befassen.

\int D X_{3} ψ_{L P}^{⋆} (X_{3}) \int D X_{1} ψ_{L P} (X_{1}) \int D Q_{1} e^{ich Q_{1} (X_{3} - X_{1})} \int D X_{2} ψ_{L P} (X_{2}) \int D Q_{2} e^{ich Q_{2} (X_{3} - X_{2})} \int D k G (k, Q_{1}, Q_{2}) e^{ich k (X - X_{3})}

$\begin{equation} \int dx_{3}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\int dx_{1}\psi_{LP}(x_{1})\int dq_{1}e^{iq_{1}(x_{3}-x_{1})}\int dx_{2}\psi_{LP}(x_{2})\int dq_{2}e^{iq_{2}(x_{3}-x_{2})}\int dkg(k,q_{1},q_{2})e^{ik(x-x_{3})} \end{equation}$

Ersetzen der Form von $g(k,q_{1},q_{2})$ , wir bekommen

G \int D X_{3} ψ_{L P}^{⋆} (X_{3}) \int D X_{1} ψ_{L P} (X_{1}) \int D Q_{1} X (Q_{1}) e^{ich Q_{1} (X_{3} - X_{1})} \int D X_{2} ψ_{L P} (X_{2}) \int D Q_{2} X (Q_{2}) e^{ich Q_{2} (X_{3} - X_{2})} \int D k X^{⋆} (k) X^{⋆} (Q_{1} + Q_{2} - k) e^{ich k (X - X_{3})}

$\begin{equation} g\int dx_{3}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\int dx_{1}\psi_{LP}(x_{1})\int dq_{1}X(q_{1})e^{iq_{1}(x_{3}-x_{1})}\int dx_{2}\psi_{LP}(x_{2})\int dq_{2}X(q_{2})e^{iq_{2}(x_{3}-x_{2})}\int dk\, X^{\star}(k)\, X^{\star}(q_{1}+q_{2}-k)\, e^{ik(x-x_{3})} \end{equation}$

Und hier bin ich hängen geblieben..

Basiswechsel in der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung

Andrej

Lagerbär

Andrej

Lagerbär

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BebopButUnsteady

Andrej

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