Kraft umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung

Die kurze Antwort lautet „Beobachtungen“.

Im Fall des Gravitationsgesetzes passen die Bahnen der Planeten um die Sonne, den Mond um die Erde mathematisch zu einer Kraft mit einem umgekehrten quadratischen Gesetz für die Entfernung. Ein umgekehrtes Gesetz nicht.

Im Falle der Elektrizität weist dieser Artikel auf die Beobachtungsgeschichte hin :

Zu den frühen Forschern, die vermuteten, dass die elektrische Kraft mit der Entfernung abnahm, wie es die Gravitationskraft tat (dh als umgekehrtes Quadrat der Entfernung), gehörten Daniel Bernoulli 1 und Alessandro Volta, die beide die Kraft zwischen Platten eines Kondensators maßen, und Aepinus, der nahm 1758 das Gesetz des umgekehrten Quadrats an.

und andere haben es von dort genommen, um schließlich zu den umfassenden Veröffentlichungen von Coulomb zu gelangen, die auf Messungen basieren.

Schließlich veröffentlichte der französische Physiker Charles Augustin de Coulomb 1785 seine ersten drei Berichte über Elektrizität und Magnetismus, in denen er sein Gesetz formulierte. Diese Veröffentlichung war wesentlich für die Entwicklung der Theorie des Elektromagnetismus.[8] Er verwendete eine Torsionswaage, um die Abstoßungs- und Anziehungskräfte geladener Teilchen zu untersuchen, und stellte fest, dass die Größe der elektrischen Kraft zwischen zwei Punktladungen direkt proportional zum Produkt der Ladungen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen ist.

Tatsächlich ist die Idee des Abstandsquadratgesetzes zumindest etwas älter als Newton (oder zumindest Newtons Veröffentlichungen zu diesem Thema). Robert Hooke schlug vor, dass die Schwerkraft ihm folgte, bevor Newton dies tat. Seine Argumentation wurde von geometrischen Überlegungen und Licht inspiriert. Wenn Sie eine Punktlichtquelle haben, ist die Leistung, die durch eine Kugel geht, die auf dem Punkt zentriert ist, konstant. Wenn der Punkt in alle Richtungen gleichmäßig emittiert, können Sie schlussfolgern, dass die Leistung pro Flächeneinheit oder Intensität als abfällt$1/r^2$, und das war eine Weile bekannt. Grundsätzlich ist die Macht von$2$kommt von der Tatsache, dass die Flächen von Kugeln mit der Radiuskraft wachsen, die von der Tatsache herrührt, dass der Raum hat$2+1 = 3$Maße.

Es ist daher etwas natürlich, sich eine Erhaltungsgröße vorzustellen, die aus einer Quelle kommt und gleichmäßig über eine Kugel verteilt ist. Sein Einfluss auf ein Testpartikel wird nur dadurch bestimmt, was das Testpartikel abfängt, sodass der Einfluss abnimmt, wenn die Menge über immer größere Oberflächen verteilt wird.

Übrigens hat Newton Hooke nie viel Anerkennung für diese Idee zugesprochen. Hooke, der nicht über die Werkzeuge verfügte, um irgendetwas damit anzufangen (im Gegensatz zu Newton, der bewies, dass Keplers empirische Gesetze unmittelbar aus einem Gesetz des umgekehrten Quadrats folgen), erhielt weniger Anerkennung, als er dachte, dass er es verdient hätte. Diese Rivalität führte dazu, dass sich Hooke mit Leibniz gegen Newton verbündete, und die Debatte wuchs, um Analysis, Philosophie und die Zahl der Akademiker eines ganzen Kontinents zu umfassen.

Historisch gesehen war Isaac Newton natürlich der erste Mann, der das Gesetz der umgekehrten Quadrate entdeckte, und Coulomb kopierte es einfach von Newton. Elektrostatische und Gravitationsfelder folgen beide dem$1/r^2$Gesetz, weil sie in manchen Regimen durch dieselbe mathematische Gleichung beschrieben werden$\Delta \Phi = \rho$. Im Klartext bedeuten diese Gesetze, dass die Feldlinien von der Fläche geteilt (dh verdünnt) werden müssen$4\pi r^2$einer Kugel, weshalb die Intensität sinken muss$1/4\pi r^2$. Das ist wirklich die "heuristische" Erklärung, warum das Gesetz so ist$1/r^2$in einem dreidimensionalen Raum. In einem 9-dimensionalen Raum wäre es so$1/r^8$usw.

Isaac Newton bestimmte das Gesetz der inversen Quadrate ursprünglich fast gleichzeitig aus zwei unabhängigen, aber eng miteinander verbundenen Überlegungen. Eine davon war ein Vergleich der Bewegung von Körpern in der Nähe der Erde und der Bewegung des Mondes. Das andere waren Keplers Gesetze für Planetenbahnen.

In Bezug auf die Mondkugel-Analogie hätte er herausfinden können, dass der Mond 60-mal weiter vom Erdmittelpunkt entfernt ist als Objekte auf der Erdoberfläche (360.000 km gegenüber 6.000 km). Er übersetzte dieses Verhältnis in ein Verhältnis der Kräfte, die auf die Objekte in diesen beiden Entfernungen wirken müssen, um das richtige Verhältnis der Periodizitäten zu ergeben, und stellte fest, dass das Verhältnis der Kräfte 1 zu 3.600 beträgt und das Gesetz daher lautet$1/r^2$.

Die andere Methode – die fast äquivalent ist (und sich hauptsächlich dadurch unterscheidet, dass die Sonne statt der Erde als Quelle der Schwerkraft im Zentrum steht) – verwendete Keplers drittes Gesetz. Kepler konnte aus den akribischen Beobachtungen von Tycho Brahe die genauen Umlaufbahnen der Planeten (einschließlich des zeitlichen Ablaufs) ableiten und die phänomenologischen Gesetzmäßigkeiten extrahieren. Das sagt der Dritte$T^2\sim a^3$: die quadrierte Periode der Umlaufbahn ist proportional zur dritten Potenz der größeren Halbachse der elliptischen Umlaufbahn. Wenn man kreisförmige Bahnen untersucht, ist es einfach zu beweisen, dass dieses Potenzgesetz, das die Periode und den Radius betrifft, äquivalent zu dem ist$1/r^2$Kraftgesetz in der Kraft. Sie sind eingeladen, es selbst zu überprüfen; wenn Ihnen dazu etwas Mathematik fehlt, befürchte ich, dass meine Wiedergabe des Beweises sowieso nicht hilfreich wäre.

Lassen Sie mich Ihnen trotzdem die Herleitung geben. Die Zentripetalkraft (und Beschleunigung), wie die entgegengesetzte Zentrifugalkraft, geht wie$r\omega^2\sim r/T^2$Wo$T$ist der Zeitraum und$r$ist der Radius der Kreisbahn. Denn Kepler bestimmt$T^2\sim r^{3}$in seinem dritten Gesetz,$r/T^2$geht wie$r/r^3=1/r^2$und das ist es: Ich habe abgeleitet, dass die Beschleunigung (und damit die Kraft), die auf den Planeten wirken muss, wie folgt sein muss$1/r^2$.

(Beachten Sie, dass, wenn Sie wollten$1/r$, müsste das dritte Keplersche Gesetz sagen$T^2\sim r^2$dh$T\sim r$. Diese Proportionalität wäre gleichbedeutend mit konstanten Geschwindigkeiten der Planeten, unabhängig von ihrer Entfernung von der Sonne. So würden die Dinge tatsächlich funktionieren, wenn der Weltraum zwei räumliche Dimensionen hätte, aber das reale Sonnensystem und ähnliche Systeme funktionieren einfach nicht so: Die Geschwindigkeit naher Planeten ist höher.)