Warum hatte das Bohr-Modell Elektronen auf Kreisbahnen und nicht auf elliptischen Bahnen, wie die der Planeten?

Das habe ich mich vor einiger Zeit gefragt und festgestellt, dass Arnold Sommerfeld die Quantisierungsbedingung mit der Hamiltonschen Dynamik verallgemeinert hat. Er quantisierte die verallgemeinerten Koordinaten$q_{a}$und seine konjugierten Impulse$p_{a}$über eine Bewegungsperiode, so dass:

Entschuldigung, dass meine Antwort etwas unscharf war. Hier ist, was ich im Kopf habe.

Bohr hat gerade ein Bild von "Quanten" als Erweiterung zu Rutherfords Planetenmodell hinzugefügt. Das ursprüngliche Ziel war es, die Stabilität von Atomen zu beschreiben. Was Bohr vorgeschlagen hat, ist, dass die Elektronen keine radiale Entfernung vom Kern einnehmen können. Es kann nur bestimmte diskrete räumliche Bahnen haben, bei denen sein Drehimpuls ein ganzzahliges Vielfaches davon ist$\hbar$. Kurz gesagt, die Umlaufbahnen im Bohr-Modell repräsentieren stationäre Zustände.

Für Planeten sind keine solchen stationären Zustände verfügbar. Wenn zum Beispiel der Planet seinen Radius ein wenig vergrößert, wirkt sich dies natürlich auf seinen Drehimpuls, seine Umlaufdauer usw. aus, er kann seine Bewegung in einer neuen Umlaufbahn fortsetzen. Denken Sie an Satelliten. Wir können den Radius bestimmen, in dem ein geostationärer Satellit gestartet werden soll. Bei einem Elektron ist dies jedoch aufgrund der quantisierten Raumbahnen nicht der Fall.

Noch wichtiger ist, dass es keine räumlich genau definierte Flugbahn für ein Elektron gibt. Offensichtlich wird dies im Bohr-Modell nicht berücksichtigt, da das Bohr-Modell vor der "Quantenmechanik" vorgeschlagen wird. Nach dem Bohr-Modell ist die im Elektron-Kern-System gespeicherte potentielle Energie quantisiert, nicht jedoch bei der Planetenbewegung. Der erlaubte Radius für ein Elektron, das einen Quantenzustand einnimmt$n$wird von gegeben

Nun, warum können wir im Bohr-Modell keine elliptischen Bahnen und Kepler-Gesetze verwenden?

Ein einfaches Argument ist, dass sich die Bahnen in Keplers Modell kreuzen. Dies ist bei Elektronen im Bohr-Modell nicht der Fall. Außerdem ist nach dem zweiten Keplerschen Gesetz die Bahn zwar symmetrisch, ihre Bewegung aber nicht. Der Planet beschleunigt uns in der Nähe der Sonne und verlangsamt sich, wenn er weit von der Sonne entfernt ist. Dies kann im klassischen Bild als Energie verstanden werden. Auch diese kontinuierliche Energieänderung ist im Bohr-Modell verboten. Im Bohr-Modell sind nur diskrete Quantensprünge erlaubt.

Ich habe mich noch nicht mit Mathematik befasst, also korrigieren Sie mich bitte, wenn ich falsch liege, aber laut Bohrs Nobelvortrag von 1922 ist eine kreisförmige Umlaufbahn nur eine Vereinfachung (von der ich annehme, dass sie keine Auswirkung auf die Vorhersagen seiner Theorie hat):

„Unserem Bild der Atomstruktur folgend, besteht ein Wasserstoffatom aus einem positiven Kern und einem Elektron, das – soweit gewöhnliche mechanische Vorstellungen anwendbar sind – in großer Näherung eine periodische elliptische Umlaufbahn mit dem Kern in einem Brennpunkt beschreibt. Die Hauptachse von die Umlaufbahn ist umgekehrt proportional zu der Arbeit, die notwendig ist, um das Elektron vollständig aus dem Kern zu entfernen, und entsprechend dem Obigen ist diese Arbeit in den stationären Zuständen gerade gleich$hK/n^2$. Wir gelangen so zu einer Mannigfaltigkeit von stationären Zuständen, für die die Hauptachse der Elektronenbahn eine Reihe von diskreten Werten annimmt, die proportional zu den Quadraten der ganzen Zahlen sind. Die beigefügte Fig. 2 zeigt diese Beziehungen schematisch. Der Einfachheit halber sind die Elektronenbahnen in den stationären Zuständen durch Kreise dargestellt, obwohl die Theorie in Wirklichkeit keine Beschränkung auf die Exzentrizität der Bahn macht, sondern nur die Länge der Hauptachse bestimmt. " Die Struktur des Atoms, Nobelvortrag 1922, Niels Bohr, S.17

Ich frage mich jedoch, ob dies der Fall wäre, warum die kreisförmige Umlaufbahn (oder äquivalent der quantisierte Drehimpuls) fast immer als Postulat seiner Theorie gelehrt wird.