Schwerkraftstärke in 1D, 2D, 3D und höheren räumlichen Dimensionen

Beginnen wir mit einem Beispiel aus dem Elektromagnetismus, der Ihnen vielleicht bekannt ist. Das Gaußsche Gesetz ist in 3 Dimensionen gegeben durch:

$\int\int E.ds= \frac{Q}{\epsilon}$, Wo$E$ist das erzeugte elektrische Feld,$Q$die Ladung ist und das Integral über eine die Ladung umschließende Fläche durchgeführt wird. In 3 Dimensionen ist die Kugel die einfachste Form, um die Ladung einzuschließen, also wählen wir diese, um die Mathematik einfacher zu machen.

Die vernünftige Annahme machen, dass$E$entlang aller Punkte in der Kugel konstant ist, wird die obige Gleichung zu:

$4\pi r^2E =\frac{Q}{\epsilon}$und deshalb,$E = \frac{Q}{4\pi r^2\epsilon}$.

Es ist nicht schwer zu erkennen, wie dieser Ansatz auf zwei Dimensionen verallgemeinert werden kann. Anstatt ein Flächenintegral um eine Kugel zu betrachten, müssen wir einfach ein Linienintegral um einen Kreis betrachten. Das modifizierte 2-D-Gaußsche Gesetz wird dann zu:

$\int E.dl= \frac{Q}{\epsilon}$, wobei das Integral um einen Kreis herum ausgeführt wird, der die Ladung umschließt$Q$.

Auch hier ergibt die Auswertung dieses Integrals:

$2\pi rE = \frac{Q}{\epsilon}$, und deshalb,$E = \frac{Q}{2\pi r\epsilon}$

Schließlich können wir auf 1-D verallgemeinern, wo ein Kreis in 1-D zu einer Linie wird und sich das Linienintegral ändert, um einfach Punkte zu addieren. Wenn wir eine Linie der Länge 2r auswählen, die die Ladung umschließt, wird das Gaußsche Gesetz zu:

$2E = \frac{Q}{\epsilon}$, das ist,$E = \frac{Q}{2\epsilon}$

Nun müssen wir sehen, wie wir diese Herangehensweise an die Schwerkraft verallgemeinern können.

In 3 Dimensionen das von einer Masse erzeugte Gravitationsfeld$M$wird gegeben von:

$g = \frac{GM}{r^2}$

Wenn wir eine neue Variable einführen,$k$, definiert als$k = \frac{1}{4\pi G}$, dann können wir das Feld umschreiben als:

$g = \frac{M}{4\pi r^2k}$. Vergleichen Sie dies mit dem elektrischen Feld in 3-D, das ist$E = \frac{Q}{4\pi r^2\epsilon}$

Man könnte also ein "Gauß'sches" Gesetz für das Gravitationsfeld konstruieren und die 2D- und 1D-Felder konstruieren, so wie ich es oben für die elektrischen Felder getan habe.

Die Ergebnisse sind die gleichen wie für das elektrische Feld, jedoch mit$\epsilon$Ersetzt mit$k = \frac{1}{4G\pi}$, Und$Q$Ersetzt mit$M$.