Ich lese dieses wirklich interessante Buch von Zwiebach mit dem Titel "A First Course in String Theory". Darin verallgemeinert er die Gesetze der Elektrodynamik auf die Fälle, in denen die Dimensionen nicht 3+1 sind. Es ist eine faszinierende Idee, aber die Art und Weise, wie er verallgemeinert, scheint eine absolute Vermutung ohne solide Grundlage zu sein. Insbesondere verallgemeinert er das Verhalten elektrischer Felder auf den Fall von 2 räumlichen und 1 zeitlichen Dimensionen, indem er behauptet . Aber es fällt mir schwer zu verstehen, warum. Das hätte ich beibehalten können fällt als Quadrat des Kehrwerts der Entfernung von der Quelle ab. Im Wesentlichen gibt es keine Möglichkeit, zwischen dem Coulomb-Gesetz und dem Gauß-Gesetz in den Standarddimensionen 3 + 1 zu unterscheiden - wie kann ich also in den anderen Fällen eines dem anderen vorziehen? Mir scheint es, als wäre es reine Geschmackssache, welche mathematische Form allgemeiner oder tiefer erscheint - auf der Grundlage dessen ahnt man, welche Form ihre Gültigkeit in den Fällen mit einer anderen Anzahl von Dimensionen als derjenigen erweitern würde die Versuche wurden durchgeführt. Aber andererseits denke ich, dass es einen ziemlich vernünftigen Grund dafür geben sollte, die Gesetze in den Welten mit einer unterschiedlichen Anzahl von Dimensionen auf diese Weise zu behandeln – wenn man bedenkt, wie ernst Physiker über diese Dinge sprechen. Also, ich nehme an, ich sollte etwas verpassen. Was ist es?
Tolle Frage. Zunächst einmal haben Sie absolut Recht, dass es keinen einzigen "richtigen" Weg gibt, um die Gesetze der Physik auf eine andere Anzahl von Dimensionen zu verallgemeinern, bis wir im Labor ein Universum mit einer anderen Anzahl von Dimensionen finden - wir müssen uns leiten lassen körperliche Intuition oder philosophische Präferenz.
Aber es gibt solide theoretische Gründe dafür, E&M auf unterschiedliche Anzahlen von Dimensionen zu verallgemeinern, indem man sich dafür entscheidet, die Maxwell-Gleichungen über die Dimensionen hinweg „fest“ zu halten, anstatt, sagen wir, das Coulombsche Gesetz, das Biot-Savart-Gesetz und das Lorentz-Kraftgesetz. Zum einen ist es schwierig, den Magnetismus in eine andere Anzahl von Dimensionen einzupassen, während er als Vektorfeld beibehalten wird - die Definitionsgleichungen des 3D-Magnetismus, das Lorentz-Kraftgesetz und das Biot-Savart-Gesetz, beinhalten beide Kreuzprodukte von Vektoren und Kreuzprodukte kann nur in drei Dimensionen formuliert werden (und auch sieben, aber das ist eine seltsame Technik und das 7D-Kreuzprodukt ist mathematisch nicht so schön wie das 3D-Produkt).
Zum anderen ist ein wichtiges theoretisches Merkmal von 3D E&M, dass es Lorentz-invariant und daher mit der speziellen Relativitätstheorie kompatibel ist, also möchten wir dies auch in anderen Dimensionen beibehalten. Und die relativistisch kovariante Form von E&M reduziert sich viel direkter auf die Maxwell-Gleichungen in einem gegebenen Lorentz-Rahmen als auf das Coulomb-Gesetz.
Drittens besitzen 3D-E&M eine Eichsymmetrie und können in Bezug auf das magnetische Vektorpotential formuliert werden (diese stellen sich als sehr eng verwandte Aussagen heraus). Wenn wir dies in einer anderen Anzahl von Dimensionen beibehalten wollen, müssen wir die Maxwell-Gleichungen anstelle des Coulomb-Gesetzes verwenden.
Diese Gründe sind alle Variationen der Grundidee, dass, wenn wir das Coulombsche Gesetz in eine andere Anzahl von Dimensionen übertragen würden, ein ganzer Haufen wirklich schöner mathematischer Strukturen, die die 3D-Version besitzt, sofort auseinanderfallen würde.
Hier ist eine Argumentation: E&M soll eine fundamentale Theorie sein. Ein Aktionsprinzip zu haben, kann die Entwicklung einer konsistenten Quantentheorie erleichtern. Die Struktur der Maxwell-Lagrange-Dichte
dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen
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