Warum sind so viele Kräfte mit inversen Quadraten erklärbar, wenn der Raum dreidimensional ist?

Dies ist nicht paradox und es ist nicht notwendig, dass irgendein physikalisches Phänomen a priori einem bestimmten Gesetz gehorchen muss. Einige Phänomene müssen zwar den Gesetzen des umgekehrten Quadrats gehorchen (wie insbesondere die Lichtintensität einer Punktquelle), aber sie sind relativ begrenzt (mehr dazu weiter unten).

Schlimmer noch, Schwerkraft und Elektrizität folgen dem im Allgemeinen nicht einmal! Für letztere sind es nur Punktladungen im elektrostatischen Bereich, die einem Abstandsgesetz gehorchen. Bei komplizierteren Systemen haben Sie magnetische Wechselwirkungen sowie Korrekturen, die von der Form der Ladungsverteilungen abhängen. Wenn die Systeme (global) neutral sind, gibt es immer noch elektrostatische Wechselwirkungen, die als umgekehrter Würfel oder schneller abfallen! Die Van-der-Waals-Kräfte zwischen Molekülen zum Beispiel sind elektrostatischen Ursprungs, gehen aber als nieder$1/r^6$.

Für Systeme mit erhaltenem Fluss muss das Gesetz des Abstandsquadrats gelten, zumindest bei großen Entfernungen. Wenn eine punktförmige Lichtquelle pro Zeiteinheit eine festgelegte Energiemenge abgibt, dann muss diese Energie durch jede gedachte Kugeloberfläche gehen, die wir uns ausdenken. Da steigt ihr Bereich als$r^2$, die Leistung pro Flächeneinheit (auch bekannt als die Bestrahlungsstärke ) muss als sinken$1/r^2$. Vereinfacht dargestellt gilt dies auch für die elektrostatische Kraft, bei der der Fluss virtueller Photonen erhalten bleiben muss.

Das aus der Schule bekannte Feldlinienbild könnte dabei hilfreich sein:

Die Oberfläche der umgebenden Kugel (und nicht ihr Volumen) bestimmt die Dichte der Linien, die eine Punktladung entsprechend der Feldstärke erzeugt.

Diese physikalischen Phänomene (Schwerkraft, Coulomb-Kraft) sind Kräfte, die von einem Objekt verursacht werden, das Sie als punktuell betrachten können. Das heißt, damit das Gesetz des umgekehrten Quadrats gilt, strahlt das Objekt die Kraft gleichmäßig in alle Richtungen von einem Punkt aus ab.

Das bedeutet, dass in jeder Entfernung (nennen wir es$R$) vom Objekt spüren Sie die gleiche Kraft wie überall auf der Oberfläche einer Kugel, deren Radius dieser Entfernung entspricht.

Die Oberfläche einer Kugel ist$2$-dimensional, nicht$3$-dimensional, und seine Fläche geht wie$R^2$. Je größer der Radius, desto größer die Oberfläche der Kugel und desto weiter sind Sie von der Quelle entfernt. Die Stärke der Quelle ist also umgekehrt proportional zur Oberfläche der Kugel.

Diese Art von Kräften kommt von einem System, das unter Drehungen unveränderlich ist, also unter der SO(3)-Gruppe (dim space: 3). Es müssten also 3 Erzeuger dieser Rotationen, also 3 Eichtransformationen existieren. Wenn Ihr System außerdem in der Zeit konserviert wird, wird die Energie konserviert und diese Generatoren sind konstant in Bewegung.

Wenn wir uns für Wechselwirkungen interessieren, beobachten wir Wechselwirkungen, die bei großen Entfernungen sehr klein werden, und im Fall der Schwerkraft eine anziehende Kraft.

Wenn Sie sich dann eine Kraft F = f(r) ansehen, können Sie, wenn ich mich recht erinnere, nur im Fall f(r) = 1/r^2 solche Eichgeneratoren erhalten, die als 1 Komponente des Drehimpulses bekannt sind (Auferlegen einer vollständigen Bewegung, also unveränderlich unter einer Drehung um den Drehimpuls) und zwei Komponenten des Laplace-Runge-Lenz-Vektors (auferlegen, dass die Achsen der Ellipse konstant sind, wodurch die beiden anderen Drehungen erzeugt werden).

Wenn Sie die Geometrie Ihres Systems ändern, werden Sie einige andere Symmetrien untersuchen und so eine andere Gruppe erhalten, die zu anderen Generatoren führt. Dann sind die zulässigen Kräfte, die die Geometrie Ihres Problems erhalten, unterschiedlich.

Gemäß dem Würfelquadratgesetz hat ein System für jede positive reelle Zahl r die gleichen Eigenschaften wie ein anderes ähnliches System, außer dass es r-mal größer ist und mit 1/r-mal der Geschwindigkeit auftritt. Das Quadratwürfelgesetz ist eigentlich nicht ganz richtig, aber aufgrund der extrem kleinen Größe von Molekülen sehr nahe daran. Wenn Sie die Spannung eines spröden Materials, das nanoglatt geätzt wurde, langsam erhöhen, gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung dessen, bei welcher Spannung es bricht, mit einer Standardabweichung, die viel kleiner ist als die Stärke, bei der es bricht. Bei einem nanosmooth geätzten Glasstab bricht er bei einer doppelt so dicken Spannung sehr nahe beim 4-fachen der Spannung, da die Spannung, die ein Stab aushält, unabhängig von seiner Länge ist und ein doppelt so dicker Stab wie 4 Stäbe des Originals ist Dicke. Je höher die Spannung, die auf ein sprödes Material ausgeübt wird, das nanoglatt geätzt wurde, desto höher ist die Rate der homogenen Nukleation eines Risses, der groß genug ist, um sein eigenes Wachstum aufrechtzuerhalten und dann mit Schallgeschwindigkeit im Material zu wachsen, was zu seinem Bruch führt, weil der kürzer ist Der Riss muss sein, um sein Wachstum aufrechtzuerhalten. Der Grund, warum sein Wachstum anhält, nachdem der kernhaltige Riss eine kritische Größe erreicht, liegt darin, dass je länger ein Riss ist, desto mehr Spannung an seiner Spitze vergrößert wird. Definieren wir die Festigkeit einer Glaskugel, die nanoglatt geätzt wurde, als die Spannung, bei der die erwartete Zeit für den Bruch gleich ihrem Durchmesser mal 1 s/m ist. Eine doppelt so große nanoglatte Kugel hat dann eine sehr geringfügig geringere Zugfestigkeit, da ihre Zugfestigkeit durch die definiert ist, die 1/16 der Keimbildungsrate eines Risses ergibt, der ' Es ist groß genug, um sein Wachstum aufrechtzuerhalten. Glas ist eine instabile Substanz, da die Keimbildungsrate seiner kristallinen Form nicht Null ist, sodass seine Festigkeit nicht in wirklich großen Maßstäben definiert werden kann. Wir können jedoch die Stärke von Korund in beliebig großen Größenskalen gemäß einer vereinfachten quantenmechanischen Theorie auf ähnliche Weise definieren, in der Elektronen und Kerne Punktladungen ohne Kernchemie sind und die Gravitationskonstante Null ist, weil es demnach eine unendlich stabile Substanz ist Theorie. Ich denke, es stellt sich heraus, dass nach dieser Definition eine Kugel in Menschengröße fast so stark ist wie eine, die ein paar Atome breit ist, aber sobald Sie eine bestimmte Größe überschritten haben, variiert ihre Stärke ungefähr mit dem Kehrwert des Logs davon Größe. Deswegen, Das Quadratwürfelgesetz kommt der genauen Wahrheit näher, wenn sich die Größe der Unendlichkeit nähert, da der Bruchteil der Zugfestigkeit, der bei einer Verdoppelung der Größe verloren geht, als Kehrwert des Logarithmus der Größe variiert. Die Festigkeit einer Korundkugel nimmt bei ausreichend großer Größe auch mit der Temperatur bei Temperaturen unter Raumtemperatur ab, da eine höhere Temperatur zu einer höheren Keimbildungsrate eines Risses führt, der groß genug ist, um sein Wachstum aufrechtzuerhalten. Am absoluten Nullpunkt verliert eine Korundkugel jedoch bei keiner Größe an Festigkeit, egal wie groß sie ist. Die Festigkeit einer Korundkugel nimmt bei ausreichend großer Größe auch mit der Temperatur bei Temperaturen unter Raumtemperatur ab, da eine höhere Temperatur zu einer höheren Keimbildungsrate eines Risses führt, der groß genug ist, um sein Wachstum aufrechtzuerhalten. Am absoluten Nullpunkt verliert eine Korundkugel jedoch bei keiner Größe an Festigkeit, egal wie groß sie ist. Die Festigkeit einer Korundkugel nimmt bei ausreichend großer Größe auch mit der Temperatur bei Temperaturen unter Raumtemperatur ab, da eine höhere Temperatur zu einer höheren Keimbildungsrate eines Risses führt, der groß genug ist, um sein Wachstum aufrechtzuerhalten. Am absoluten Nullpunkt verliert eine Korundkugel jedoch bei keiner Größe an Festigkeit, egal wie groß sie ist.

Laut https://en.wikipedia.org/wiki/Size_effect_on_structural_strength werden Materialien bei einer größeren Größe um einen viel größeren Betrag schwächer, als ihre theoretische Festigkeit mit der Größe abnimmt. Das liegt wahrscheinlich daran, dass Scratchen weit davon entfernt ist, dem Quadratwürfelgesetz zu folgen. Bei einer tetraedrischen Diamantspitze, die durch Brechen entlang ihrer Spaltebenen hergestellt wird, die mit einer bestimmten Geschwindigkeit und Kraft entlang von nanoglattem Glas gleiten, wird sie wahrscheinlich einen Kratzer in nanoglattem Glas hinterlassen, der mehr als doppelt so tief ist, wenn genau das Vierfache der Kraft ausgeübt wird dasselbe Richtung, weil Kratzen ein Prozess ist, der auf molekularer Ebene erklärt wird. Siehe Wie zerkratzt eine unendlich harte Spitze ein amorphes sprödes Material, wenn sie daran entlang gleitet?. Die Oberflächenspannung folgt auch nicht dem Quadratwürfelgesetz. Der Krümmungsradius eines Wassermeniskus multipliziert sich nur mit der Quadratwurzel von 2, wenn die Gravitationsmenge um die Hälfte reduziert wird.

Es gibt nur zwei Kräfte, die als Kehrwert des Quadrats ausgedrückt werden können (wie oben erwähnt): das elektrostatische Gesetz und das Gesetz der universellen Gravitation.

Nun, der Sinn ist, dass es sich um Kräfte handelt, die auf „Kugelwellen“, also auf isotrope Energieemissionen, zurückgeführt werden können. Sie können sich einen Stein in einem See vorstellen, dessen Wellen sich in konzentrischen Kreisen bewegen. Mit diesen Kräften gehen sie also von den Körpern aus, die sie in konzentrischen Wellen in drei Dimensionen animieren.

Eine Studie, die letztes Jahr in der Literatur in einer ziemlich angesehenen Zeitschrift erschienen ist, scheint zu zeigen, dass das elektrische Feld und das Gravitationsfeld auf dieselbe fundamentale Wechselwirkung zurückgeführt werden können. Das Papier finden Sie hier .

Die Debatte ist offensichtlich noch offen und verdient viel Aufmerksamkeit. Das Papier selbst ist wirklich stark, da es die Masse des Elektrons, die Avogadro-Zahl und den Radius des Protons vorhersagt: alles Größen, die jetzt nur experimentell bekannt sind und von keinem theoretischen Rahmen vorhergesagt werden.