Die Beziehung zwischen dem Gaußschen Gesetz und dem Coulomb-Gesetz und warum ist es wichtig, dass das elektrische Feld proportional zu 1r21r2\frac{1}{r^{2}} abnimmt?

Das Gesetz von Gauß und das Gesetz von Coulomb sind äquivalent - was bedeutet, dass sie ein und dasselbe sind. Einer von ihnen kann aus dem anderen abgeleitet werden. Die rigorosen Herleitungen finden sich in jedem Lehrbuch der Elektrodynamik, z. B. Jackson. Betrachten Sie zB eine Punktladung q. Gemäß dem Coulombschen Gesetz ist das von ihm erzeugte elektrische Feld gegeben durch

$$\vec{E} = \frac{kq}{r^2}\hat{r}$$ , Wo $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$. Betrachten Sie nun eine Kugel mit Radius $r$zentriert auf Ladung q. Also für die Oberfläche $S$dieser Sphäre hast du: $$\int_{S}\vec{E}.\vec{ds} = \int_{S}\frac{kq}{r^2}ds = \frac{kq}{r^2}\int_{S}ds = \frac{kq}{r^2}(4\pi r^2) = 4\pi k q = \frac{q}{\epsilon_0}$$ , was das Gaußsche Gesetz ist. Beachten Sie, dass wenn die $r^2$im Ausdruck für die Oberfläche der Kugel im Zähler kürzte sich das nicht genau heraus $r^2$im Nenner des Coulombschen Gesetzes würde das Flächenintegral tatsächlich abhängen $r$. Daher würden Sie nicht das Ergebnis haben, dass das Oberflächenintegral unabhängig von der Fläche der Oberfläche ist, was das Gesetz von Gauß impliziert. Obwohl dieses Ergebnis für eine Kugel abgeleitet wurde, kann es für jede beliebige Form und Größe der Oberfläche abgeleitet werden, Sie können sich beispielsweise auf Jackson für die rigorose Ableitung beziehen. Beachten Sie, dass Sie durch umgekehrtes Ausführen dieser Schritte auch das Coulomb-Gesetz aus dem Gauß-Gesetz ableiten und so zeigen können, dass sie äquivalent sind.

Die Verbindung zwischen dem Gauß'schen Gesetz und dem umgekehrten Quadrat wird von Frederic oben erklärt. Aber gestatten Sie mir, auf die grundlegende Frage einzugehen.

Kurz gesagt, wenn das Gesetz des Abstandsquadrats nicht gilt, muss das Photon eine Masse und daher eine endliche Lebensdauer haben. Dies wird gut in Jacksons Classical Electrodynamics erklärt (siehe Index für Proca Lagrangian, in der zweiten Auflage). Die Verwendung eines massiven Photonenmodells wurde theoretisch durchgesetzt und die daraus resultierenden Beobachtungen erlauben es, eine Obergrenze für die Photonenmasse festzulegen. Wenn die Photonenmasse messbar wäre, müssten wir allerlei grundlegende Fragen, insbesondere in der Kosmologie, überdenken.

Dies ist trocken, aber es ist leicht verfügbar. http://en.wikipedia.org/wiki/Proca_lagrangian

Interessanterweise gibt es auch eine tiefe Verbindung zur reinen Mathematik; der Rest einer Funktion ist der 1/z-Term der Laurent-Entwicklung. Warum? Das liegt daran, dass dies der einzige überlebende Term ist, der einen endlichen Beitrag zu einem Integral im Unendlichen liefert. 1/r wäre die Kraft, die einem 1/r^2-Potential zugeordnet ist.

Der$1/|r|^2$Abhängigkeit ist grundsätzlich geometrischer Natur und stammt aus unserer 3D-Welt.

Von Differentialgleichungen, sogar PDEs, wird manchmal gesagt, dass sie Greensche Funktionen haben . Betrachten Sie die Differentialgleichung

$$\nabla \cdot K = \alpha$$

für irgendein Vektorfeld$K$und ein Skalarfeld$\alpha$. Dies ist strukturell identisch mit dem Gaußschen Gesetz. Diese Gleichung hat eine Greensche Funktion$G$das befriedigt

$$\nabla \cdot G = \delta$$

Wo$\delta$ist die Dirac-Delta-Funktion. Dies beschreibt im Wesentlichen eine Punktquelle $\delta$ein Feld erzeugen$G$.

Die Green-Funktion ist gegeben durch

$$G(r) = \frac{\hat r}{4\pi |r|^2}$$

Somit ist jede Differentialgleichung der Form$\nabla \cdot K = \alpha$hat in 3D die gleiche Green'sche Funktion - eine Punktquelle erzeugt immer das gleiche Grundfeld.

Kurz gesagt, es ist eine physikalische Aussage zu sagen$\nabla \cdot E = \rho/\epsilon_0$, aber sobald das gesagt ist, muss das Coulombsche Gesetz, das eine Punktladung beschreibt, aufgrund der mathematischen Struktur der Gleichungen und der geometrischen Natur des 3D-Raums zwangsläufig folgen.

(Natürlich können Sie auch andersherum vorgehen.)

Bearbeiten: Entscheidend ist, dass die Funktionen des Grüns in 2d und 1d unterschiedlich sind. Wahrscheinlich kennen Sie diese Lösungen bereits. Die Funktion des 2d Green ist etwas Bekanntes aus dem Bereich der gleichmäßigen Linienladung und hat$1/|r|$Abhängigkeit. Die 1d-Green-Funktion hat eine konstante Größe, ändert aber die Richtung auf gegenüberliegenden Seiten der "Punkt"-Ladung - dies ist das grundlegende Merkmal einer gleichmäßig geladenen Schicht.

Das Gaußsche Gesetz besagt, dass das Verhältnis von Ladung und Dielektrizitätskonstante durch ein (zweidimensionales) Flächenintegral über das elektrische Feld gegeben ist:

$$\int E\cdot dA=\frac{Q}{\epsilon_0},$$

wobei ich der Einfachheit halber auf die Vektornotation verzichtet habe. Es kann mit dem Coulombschen Gesetz verknüpft werden, indem man eine sphärische Symmetrie des elektrischen Felds annimmt und die Integration durchführt.

Umgekehrt können Sie zunächst davon ausgehen, dass das Coulombsche Gesetz

$$E=\frac{1}{4\pi}\frac{Q}{r^2},$$

gilt, und nehmen Sie die Divergenz auf beiden Seiten der Gleichung. Dies führt zur differentiellen Form des Gaußschen Gesetzes:

$$\nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0},$$

Wo$\rho$ist die Ladungsdichte. Um ihre integrale Form zu reproduzieren, integrieren Sie einfach beide Seiten der Gleichung. Detaillierte Berechnungen finden Sie auf der Wikipedia-Seite zum Gaußschen Gesetz . Wenn Sie wirklich verstehen wollen, wie das alles zusammenhängt (was ich vermute, sonst würden Sie hier nicht fragen), würde ich empfehlen, die Berechnung selbst nachzuvollziehen. Dann können Sie auch versuchen zu sehen, was passiert, wenn Sie andere Formen des Coulombschen Gesetzes annehmen.