Kreuzprodukt und Händigkeit

Question

Kreuzprodukt und Händigkeit

Benutzer120474

Ich habe einige Schwierigkeiten, das Kreuzprodukt in einem linkshändigen Koordinatensystem zu verstehen. Ich will rechnen $\hat{i} \times \hat{j}$ für beide Systeme im Bild (das erste ist rechtshändig und das zweite linkshändig).

Für das erste System (rechtshändig) berechne ich das Kreuzprodukt auf diese Weise und erhalte korrekt $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ . Aber wenn ich versuche, die gleiche Methode auf den zweiten Fall anzuwenden, da $\hat{i}$ ist immer noch auf der $x$ Direktion u $\hat{j}$ auf der $y$ Richtung, erhalte ich das gleiche Ergebnis, was nicht korrekt ist, da dies ein linkshändiges System ist. Was fehlt mir hier?

Antworten (3)

Kreuzprodukt und Händigkeit

Andreas Mastronikolis · Answer 1

In einem linkshändigen System (das ist das rechte), die Beziehung, die Ihre Basisvektoren verbindet $\textbf{e}_1, \textbf{e}_2, \textbf{e}_3$ (das bedeutet $\textbf{i}, \textbf{j}$ Und $\textbf{k}$ bzw.) ist:

e_{ich} \times e_{J} = \sum_{k = 1}^{3} ϵ_{ich J k} e_{k}

$\textbf{e}_i \times \textbf{e}_j = \sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk} \textbf{e}_k$

Wo $\epsilon_{ijk}$ ist der $\textbf{Levi - Civita Symbol}$ , definiert (in diesem Fall) als:

ϵ_{ich J k} = {\begin{cases} - 1 & Wenn (ich, J, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1) oder (3, 1, 2) \\ + 1 & Wenn (ich, J, k) = (3, 2, 1), (1, 3, 2) oder (2, 1, 3) \\ 0 & Wenn ich = J, J = k oder k = ich \end{cases}

$\epsilon_{ijk} = \begin{cases} -1 & \text{if} \ (i,j,k) = (1,2,3), (2,3,1) \text{ or } (3,1,2) \\ +1 & \text{if} \ (i,j,k) = (3,2,1), (1,3,2) \text{ or } (2,1,3) \\ 0 & \text{if} \ i=j, j=k \text{ or } k=i \end{cases}$ Sie können jeden Fall einzeln testen. Nachdem Sie nun wissen, wie Ihre Basisvektoren interagieren, können Sie das Kreuzprodukt zweier abstrakter Vektoren berechnen:

A = A_{1} e_{1} + A_{2} e_{2} + A_{3} e_{3} Und B = B_{1} e_{1} + B_{2} e_{2} + B_{3} e_{3}

$\textbf{a} = a_1\textbf{e}_1 + a_2\textbf{e}_2 + a_3\textbf{e}_3 \text{ and } \textbf{b} = b_1 \textbf{e}_1 + b_2 \textbf{e}_2 + b_3 \textbf{e}_3$

Seit $\textbf{e}_i \times \textbf{e}_i = 0 \ \forall i \in \{1,2,3\}$ . $\textbf{a} \times \textbf{b}$ vereinfacht sich schnell zu:

A \times B = A_{1} B_{2} (e_{1} \times e_{2}) + A_{1} B_{3} (e_{1} \times e_{3}) + A_{2} B_{1} (e_{2} \times e_{1}) + A_{2} B_{3} (e_{2} \times e_{3}) + A_{3} B_{1} (e_{3} \times e_{1}) +

$\textbf{a} \times \textbf{b} = a_1b_2(\textbf{e}_1 \times \textbf{e}_2) + a_1b_3(\textbf{e}_1 \times \textbf{e}_3) + a_2b_1(\textbf{e}_2 \times \textbf{e}_1)+a_2b_3(\textbf{e}_2\times\textbf{e}_3) + a_3b_1(\textbf{e}_3 \times \textbf{e}_1) +$

+ A_{3} B_{2} (e_{3} \times e_{2}) =

$+a_3b_2(\textbf{e}_3 \times \textbf{e}_2) =$

A_{1} B_{2} (- e_{3}) + A_{1} B_{3} e_{2} + A_{2} B_{1} e_{3} + A_{2} B_{3} e_{1} + A_{3} B_{1} (- e_{2}) + A_{3} B_{2} e_{1} =

$a_1b_2(-\textbf{e}_3) + a_1b_3\textbf{e}_2 + a_2b_1\textbf{e}_3 + a_2b_3\textbf{e}_1+a_3b_1 (-\textbf{e}_2) + a_3b_2\textbf{e}_1 =$

(A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2}) e_{1} + (A_{1} B_{3} - A_{3} B_{1}) e_{2} + (A_{2} B_{1} - A_{1} B_{2}) e_{3}

$(a_2b_3-a_3b_2)\textbf{e}_1 + (a_1b_3 - a_3b_1)\textbf{e}_2 + (a_2b_1-a_1b_2)\textbf{e}_3$ Und in der Notation des Diagramms:

A \times B = (A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2}) ich + (A_{1} B_{3} - A_{3} B_{1}) J + (A_{2} B_{1} - A_{1} B_{2}) k

$\textbf{a} \times \textbf{b} = (a_2b_3 -a_3b_2)\textbf{i} +(a_1b_3-a_3b_1)\textbf{j}+(a_2b_1-a_1b_2)\textbf{k}$ Hoffe das hat geholfen

Tal · Answer 2

Ich erhalte das gleiche Ergebnis, was nicht korrekt ist, da dies ein linkshändiges System ist. Was fehlt mir hier?

Sie verpassen nichts. Es ist richtig, Sie sollten das gleiche Ergebnis erhalten. Sie haben sowohl die Händigkeit des Koordinatensystems als auch die Rollen der Vektoren geändert. Diese beiden Änderungen heben sich auf, sodass Sie am Ende dasselbe Ergebnis erhalten. Um dies einfacher zu sehen, verwenden wir $’$ Symbole, um Dinge im linkshändigen Koordinatensystem anzuzeigen. So $\hat i’$ ist der i-Vektor im linkshändigen System und $\times’$ ist das linkshändige Kreuzprodukt.

Nun, wir können die Tatsache nutzen, dass $\hat i=\hat j’$ , $\hat j=\hat i’$ , Und $\hat k=\hat k’$ zeigen

\hat{ich} \times \hat{J} = \hat{k}

$\hat i \times \hat j = \hat k$

{\hat{J}}^{'} \times {\hat{ich}}^{'} = {\hat{k}}^{'}

$\hat j’ \times \hat i’ = \hat k’$

{\hat{ich}}^{'} \times {\hat{J}}^{'} = - {\hat{k}}^{'}

$\hat i’ \times \hat j’ = -\hat k’$

{\hat{ich}}^{'} \times^{'} {\hat{J}}^{'} = {\hat{k}}^{'}

$\hat i’ \times’ \hat j’ = \hat k’$

Wir sehen also, dass Ihr Ergebnis korrekt ist. Sie haben die Händigkeit des Koordinatensystems und die Definitionen Ihrer Achsen und Basisvektoren geändert. Jede dieser Änderungen führte ein Minuszeichen ein, das sich gegenseitig aufhob.

Natsfan · Answer 3

In einem linkshändigen System erfolgt die positive Rotation im Uhrzeigersinn um die Rotationsachse. Hast du das richtig berücksichtigt? Und hast du die linke Hand benutzt? Es scheint für mich zu funktionieren.

Die von Ihnen angegebene Methode gilt für ein rechtshändiges Koordinatensystem. Es wird in Ihrer Referenz besprochen, aber für ein linkshändiges System wird keine bestimmte Methode angegeben.

Was müsste ich an der Determinantenmethode ändern, damit sie mit linkshändigen Systemen funktioniert?
Ich stütze mich nur auf das, was in Ihrer Referenz geschrieben wurde. Ich habe noch nie ein linkshändiges Koordinatensystem verwendet, daher bin ich ziemlich ahnungslos, wie es mit einem funktioniert. Wenn Sie den ersten Abschnitt Ihrer Referenz noch einmal lesen, wird die Händigkeit behandelt.
Eine andere Sache ist ixj = k. Aber im linkshändigen System ixj = -k. Ich bin mir nicht sicher, welche Auswirkungen das hat. Vielleicht brauchst du stattdessen jxi.

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