Kritik am mathematischen Strukturalismus

Der Artikel der Internet Encyclopedia of Philosophy über Mathematical Structuralism , geschrieben von Stewart Shapiro, ist eine kurze, aber nette Einführung in das Thema. Für Shapiro gibt es eine durchgehende Linie von David Hilbert und Paul Benacerraf zum aktuellen Thema der Rolle von Strukturen in der Philosophie der Mathematik.

Shapiro stellt fest, dass der Strukturalismus dazu neigt, in zwei verschiedenen Formen aufzutreten. Denken Sie, dass Strukturen abstrakte Objekte sind (wie Universalien), so dass die Aussagen der Mathematik eine Art realistischen „Nennwert“ haben? Oder ist die Rede von Strukturen letztlich eliminierbar, verkürzte Fiktionen oder Verallgemeinerungen, die die Mathematik erleichtern, aber nicht konstitutiv für die Ontologie der mathematischen Realität sind?

Eine natürliche Frage, die man hier draußen stellen sollte, ist: "Wie um alles in der Welt sind das die gleichen Positionen?" Platoniker und Aristoteliker diskutieren dies seit dem antiken Athen, und wenn der Strukturalismus darauf keine Antwort gibt, hat er wirklich den Anspruch, eine eigenständige Philosophie zu sein?

Es gibt einen wirklich schönen Artikel von Kate Hodesdon, der vorschlägt, dass, wenn das, was diese beiden Positionen verbindet, eine These über die "Unvollständigkeit" oder "mehrfache Realisierbarkeit" mathematischer Objekte ist (dass Personen in der Zahlen- oder Mengentheorie beispielsweise nur Positionen sind). in Strukturen, die unter vielen verschiedenen Umständen instanziiert werden können), dann ist ihre Theorie zu allgemein, um irgendetwas Informatives über die Mathematik als solche erfolgreich zu erfassen . Wenn Ante-Rem- und Post-Rem-Strukturalisten sich über Strukturen einig sind, liegt die Art und Weise, wie sie sich einig sind, in der philosophischen Methodik .

Während also strukturalistische Ideen in der Philosophie der Mathematik nützliche Beiträge leisten, beantwortet das Sein als Strukturalist an sich nicht die Schlüsselfragen darüber, was mathematische Strukturen sind, wie man mit ihnen in epistemischen Kontakt kommt und wie Menschen Mathematik tatsächlich praktizieren Grad an Vertrauen in die Erdung ihres Fachgebiets. Eine weitere Beschreibung der mathematischen Praxis und der Theoriebildung ist erforderlich – insbesondere, wie Beweise und Repräsentationen in der Praxis funktionieren und wie man dazu kommt, sie zu lernen.

Ich habe keine breiten (!) Antworten auf Ihre Frage gefunden, aber ich habe Folgendes gefunden :

Dagegen stellt die Kategorientheorie einen Zweig der abstrakten Algebra dar, wie ihr Ursprung verrät. Daher ist es von Natur aus nicht durchsetzungsfähig; es fehlen Existenzaxiome, die als Wahrheiten über ein beabsichtigtes Universum konzipiert sind. Beispielsweise sind die Eilenberg-Mac-Lane-Axiome der Kategorientheorie nicht „grundlegende Wahrheiten vereinfachen“, sondern „schematisch“ oder „strukturell“. Sie fungieren als implizite Definitionen algebraischer Strukturen, ähnlich wie die Axiome der Gruppentheorie oder der Ringtheorie „Bedingungen für Typen von Strukturen definieren“. Dieser Punkt hängt mit einem anderen Argument gegen die Autonomie der Kategorientheorie zusammen, das Hellmann das „Problem der ‚Heimatadresse‘ nennt: Woher kommen Kategorien und wo leben sie?“ (2003: 136). Angesichts der „algebraisch-strukturalistischen Perspektive“, die der Kategorientheorie und der allgemeinen Topostheorie zugrunde liegt, machen ihre Axiome keine Behauptungen darüber, dass bestimmte Kategorien oder Topoi tatsächlich existieren. Klassische Mengenlehren wie ZFC mit ihren starken Existenzaxiomen müssen wieder eingreifen, um die Existenz solcher Objekte zu sichern.

Das Zitat betrifft eine Form des Strukturalismus, der kategorientheoretischer Natur ist. Ich sehe das Argument nicht als ein unüberwindbares Problem für diese Marke: Warum nicht einfach einige Existenzansprüche über Kategorien/Strukturen hinzufügen? Vielleicht hat es mit dem wesentlichen „Geschmack“ solcher Theoretisierung zu tun (der Geschmack ist solchen Existenzansprüchen abträglich?). Auf jeden Fall ist dies wiederum eine Kritik an einer Teilmenge (!) strukturalistischer Behauptungen, nicht am gesamten philosophischen Standpunkt insgesamt.