Im Tractatus versucht Wittgenstein eine Lösung von Russells Paradoxon
3.333 Eine Funktion kann nicht ihr eigenes Argument sein, weil das Funktionszeichen bereits den Prototyp ihres eigenen Arguments enthält und sich selbst nicht enthalten kann.
Nehmen wir beispielsweise an, dass die Funktion F(fx) ihr eigenes Argument sein könnte, dann gäbe es einen Satz „F(F(fx))“, und in diesem müssten die äußere Funktion F und die innere Funktion F stehen unterschiedliche Bedeutungen;
denn das Innere hat die Form g(fx), das Äußere die Form h(g(fx)).
Beiden Funktionen gemeinsam ist nur der Buchstabe „F“, der an sich nichts bedeutet. Das wird sofort klar, wenn wir statt „F(F(u))“ schreiben „Es gibt g : F(gu). gu = Fu“.
Damit verschwindet Russells Paradoxon .
Funktioniert das oder soll es funktionieren? (Vorausgesetzt natürlich, dass dies dasselbe Paradoxon ist, das wir jetzt unter dem Namen Russell kennen).
einige Definitionen aus Russells Einführung:
Aus Russells Einführung:
a. Eine Aussagefunktion ist eine Funktion, deren Werte Aussagen sind; zum Beispiel 'x ist Mensch'.
b. Eine Wahrheitsfunktion eines Satzes p ist ein Satz, der p enthält und dessen Wahrheit oder Falschheit nur von der Wahrheit oder Falschheit von p abhängt .
c. Wittgenstein zeigt, dass jede Aussagefunktion eine Wahrheitsfunktion ist.
Ich denke, dass man zum Verständnis von Wittgensteins „Lösung“ den ursprünglichen (historischen) Kontext berücksichtigen muss.
Wittgenstein war ein Schüler und Schüler von Frege und Russell.
Laut Frege (siehe seine unmittelbare Antwort auf Russells Brief, der ihm die Entdeckung des Paradoxons mitteilte), war Russells Form des Paradoxons ( f(f) ) in Freges Logik nicht reproduzierbar, weil Syntaxregeln vorschreiben, dass der Name eine Funktion hat ein leerer Platz, der nur mit dem Namen eines Objekts gefüllt werden kann, und Funktionen (in Freges Logik) sind keine Objekte . Unmittelbar danach konnte Frege das Paradox in seiner eigenen Logik mit einer "komplizierteren" Formulierung reproduzieren.
Laut Whitehead & Russell Principia Mathematica war die Lösung der Paradoxien (einschließlich Russells) die Ramified Type Theory. Diese Theorie war von Anfang an mehreren Einwänden ausgesetzt, darunter eine Schwierigkeit im Zusammenhang mit der formalen Darstellung der Theorie selbst in PM (PM hat keine saubere Trennung zwischen Objektsprache und Metasprache, und daher keine genaue Abgrenzung zwischen Objekt- und Metatheorie).
Eine der von Tractatus vorgeschlagenen Verbesserungen der Logik von Frege und Russel ist die Idee, dass logische Form nicht beschrieben werden kann, sondern nur gezeigt werden kann. Eine plausible Lesart dieser Idee ist, dass Syntaxregeln bereits in die Zeichen selbst eingeschlossen sind: Die Möglichkeit, verschiedene Zeichen aneinander zu hängen, verhindert paradoxe Konstruktionen (wie f(f) ).
Wittgenstein spielt darauf an, wie Russell selbst das Paradoxon gelöst hat – die Theorie der verzweigten Typen. Darauf spielt er an in:
3.332 Kein Satz kann etwas über sich selbst aussagen, weil das Satzzeichen nicht in sich selbst enthalten sein kann (das ist die „ganze Typenlehre“).
Und er formuliert neu als
3.333 Eine Funktion kann nicht ihr eigenes Argument sein, weil das Funktionszeichen bereits den Prototyp ihres eigenen Arguments enthält und sich selbst nicht enthalten kann.
Ein Funktionszeichen ist einfach das Zeichen der Funktion; die Funktion ist das, was das Zeichen bedeutet. Er erweitert, was er damit meint:
Nehmen wir beispielsweise an, dass die Funktion F(fx) ihr eigenes Argument sein könnte, dann gäbe es einen Satz „F(F(fx))“, und in diesem müssten die äußere Funktion F und die innere Funktion F stehen unterschiedliche Bedeutungen;
denn das Innere hat die Form g(fx), das Äußere die Form h(g(fx)).
Das heißt, F (F(fx)) unterscheidet sich von F( F (fx)), weil sie im Ausdruck verschiedene Dinge bedeuten, dh sie haben verschiedene Bedeutungen oder genau Funktionen; und nur das Zeichen „F“ ist beiden gemeinsam, wie er behauptet:
Beiden Funktionen gemeinsam ist nur der Buchstabe „F“, der an sich nichts bedeutet.
und von
Das wird sofort klar, wenn wir statt „F(F(u))“ schreiben „Es gibt g : F(gu). gu = Fu“.
Damit verschwindet Russells Paradoxon .
David h
Michael
Mosibur Ullah