Wie löst Freges Zahlendefinition das Julius-Cäsar-Problem?

Hier ist ein historischer Kontext. In Grundlagen der Arithmetik (1884) führte Frege sein unglückseliges Axiom V ein, das heute als Axiom des uneingeschränkten Verstehens bekannt ist : Jedes Prädikat definiert eine Klasse von Objekten, die es erfüllen, genannt seine Erweiterung (Freges eigene Formulierung ist technischer). Dies führte zur Menge aller Mengen und dann 1901 zum Russellschen Paradoxon (offensichtlich von Zermelo vor Russell entdeckt, siehe Wie kam Russell zu dem Paradoxon, das die Widersprüchlichkeit der naiven Mengenlehre demonstriert? ). Aber bereits zum Zeitpunkt des Schreibens wusste Frege, dass die volle Kraft von Axiom V nicht für seine Beweise oder für die Ableitung der von ihm gewünschten philosophischen Konsequenzen benötigt wurde. Es genügte eine schwächere Behauptung, das sogenannte Humesche Prinzip(es wurde schon vor Hume erwogen, aber erst nach Cantor übernommen, siehe Mancosu's Measuring the Size of Infinite ):

Die Anzahl der Fs ist die gleiche wie die Anzahl der Gs, wenn es eine Eins-Eins-Entsprechung zwischen den Fs und den Gs gibt.

Natürlich war es schwieriger, dies als "Gesetz des Denkens" zu verkaufen, und der springende Punkt von Freges Logikismus war es, die Mathematik aus der Logik, den Gesetzen des Denkens, abzuleiten. Aber auch nachdem Russell auf das Problem mit der Menge aller Mengen hingewiesen hatte, die nicht zu sich selbst gehörten, versuchte Frege nicht, sein System zu retten, indem er auf das Hume-Prinzip umstellte. Abgeschreckt hat ihn offenbar das als „dritter Zweifel“ in den Grundlagen §66 angelegte „Julius-Cäsar-Problem“:

„ In dem Satz [„die Zahl F ist gleich der Zahl G“] spielt [die Zahl F] die Rolle eines Objekts, und unsere Definition gibt uns ein Mittel, dieses Objekt wieder als dasselbe zu erkennen, in Falls es zufällig in einer anderen Gestalt auftauchen sollte, sagen wir als [die Zahl von Gs] Aber dieses Mittel ist nicht für alle Fälle geeignet, es wird uns zum Beispiel nicht entscheiden, ob [Julius Caesar] dasselbe ist wie [die Zahl Null] – wenn mir ein Beispiel verziehen sei, das unsinnig aussieht … Natürlich wird niemand [Julius Caesar] mit [der Zahl Null] verwechseln, aber das liegt nicht an unserer Definition von [Zahl]. Das sagt nichts darüber aus, ob der Satz [„die Zahl der Fs ist identisch mit q“] zu bejahen oder zu verneinen ist, außer für den einen Fall, wo q in der Form [„die Zahl der Gs“] gegeben ist.Was uns fehlt, ist das Konzept von [Zahl]; denn wenn wir das hätten, dann könnten wir festlegen, dass, wenn q keine [Zahl] ist, unsere Aussage zu verneinen ist, während, wenn es eine [Zahl] ist, unsere ursprüngliche Definition entscheiden wird, ob sie zu bejahen ist oder verweigert. " [fett gedruckt von mir]

Was Frege hier sagt, ist, dass das bloße Hume-Prinzip es uns nicht erlaubt, zwischen Zahlen und Nichtzahlen zu unterscheiden (wie Julius Cäsar), weil der Begriff der Zahl fehlt. Wir brauchen eine Definition von Zahlen, nicht nur eine Regel zur Feststellung ihrer Gleichheit in einem speziellen Fall. Axiom V sieht eine solche Definition vor (z. B. ist die Zahl Null die Erweiterung eines Konzepts, unter das nichts fällt, dh die Nullmenge), während das Hume-Prinzip dies nicht tut. Ein guter Überblick über verwandte Themen ist Hecks The Julius Caesar Objection , der einen interessanten Kommentar macht:

"Nachdem all dies gesagt wurde, stellt sich die Frage, warum Frege, nachdem er Russells berühmten Brief erhalten hatte, Axiom V nicht einfach fallen ließ, Humes Prinzip als Axiom installierte und behauptete, er habe trotzdem den Logikismus begründet. Die Frage ist nicht nur von historischem Interesse. Obwohl Frege es selbst nicht übernommen hat, scheint diese Position einigen ein würdiger Nachfolger von Freges Logikismus zu sein: Einer Version zufolge verkörpert das Hume-Prinzip eine Erklärung des Begriffs der Zahl, woher, obwohl es keine ist Prinzip der Logik, vielleicht hat es eine ähnlich privilegierte erkenntnistheoretische Stellung ... Die historische Frage wird dadurch drängend, dass Frege in einem Brief an Russell ausdrücklich erwägt, das Hume-Prinzip als Axiom zu übernehmen, und nur bemerkt, dass die „Schwierigkeiten hier“ sind nicht die gleichen wie die, die Axiom V plagen."

Kurz gesagt ergibt sich das Problem aus der Definition der Zahl als Begriff zweiter Ordnung (dh als numerischer Quantor) in Die Grundlagen der Arithmetik (1884).

Betrachten Sie zB 0xϕ(x)=df Card[xy] (y ≠ y) [ϕx] , das lautet:

0xϕ(x) zu behaupten bedeutet , dass die Objekte, die ϕ sind, in einer Eins-zu-Eins-Korrelation mit den Objekten stehen, die nicht selbstidentisch sind,

dh es gibt keine Objekte, die ϕ sind .

Hier haben wir das Konzept "zweiter Ordnung" definiert (ein Prädikat 0x(ξ) eines Prädikats erster Ordnung ϕ(x) ). Aber wir haben nicht definiert, was die Zahl 0 ist .

Wie können wir mit dieser Definition die Frage beantworten:

"Ein Satz der Form 'Die Anzahl der F's = q ' ist falsch, wenn q keine Zahl ist"

(wobei das paradigmatische Beispiel mit Julius Cäsar anstelle des "Namens" q ist ) ?

In der von Frege betrachteten „logisch perfekten“ Sprache muss jeder einzelne Begriff („Name“) eine Bedeutung haben und jede Funktion für jedes mögliche Argument definiert sein (jeder Begriff muss „scharf definiert“) sein.

Wenn zum Beispiel „ q “ ein singulärer Begriff ist, muss seine semantische Interpretation die Wahrheitsbedingungen von „ q = y “ für jedes gegebene Objekt y festlegen .

Bei Freges Versuch, die Kardinalzahlen zu definieren, besteht das Problem darin, dass das angegebene Kriterium, die zum Begriff ϕ gehörige Zahl zu sein , die Bedeutung der Zahlwörter nicht vollständig bestimmt und damit den bestimmten Artikel „die“ nicht rechtfertigt '.

Die „ausgereifte“ Fregesche Lösung in den Grundgesetzen der Arithmetik (1893/1903) basiert auf der Einführung von Wertverläufen :

Die Bedeutung des Singularterms ' ε´ φ(ε) ' ist der Wertverlauf der Funktion φ(ξ) ,

was ausschließt, dass ein Satz der Form ' ε´ ϕ(ε) = q ' wahr ist, wenn q kein Wertverlauf ist.

Ob die Wertkurstheorie das Julius-Caesar-Problem wirklich löst, ist in der Literatur umstritten.

Caezar kann als Zahl definiert werden oder nicht? Wie Frege meinte, lassen sich die Zahlen nicht auf die unsichere Welt übertragen. Die Zahlen sind nicht aus Empfindungen erdacht. Die Zahlen sind nicht unsere Gedanken, weil die Gedanken von Person zu Person unterschiedlich sind. Daher können wir Caezar nicht als Zahl definieren. Die Frage ist für Frege, welchem ​​Cäsar wir die Zahl wie 1 geben werden. Alles ändert sich in der äußeren Welt.