Ladungsverteilung auf einer massiven Metallkugel unter Einfluss einer Punktladung außerhalb der Kugel [geschlossen]

Sie haben Recht, der Ladungsaufbau wird über die Hemisphäre nicht gleichmäßig sein.

Dies ist ein eher standardmäßiges Beispiel für die Verwendung der Bildmethode , bei der der Raum durch eine leitende Oberfläche in zwei Bereiche getrennt wird (innerhalb und außerhalb einer Kugel oder über und unter einer unendlichen Ebene sind einige klassische Beispiele).

Sie können dann den Nettoeffekt der Ladungsverteilung auf der (geerdeten oder ungeladenen) leitenden Oberfläche durch eine äquivalente "Bildladung" ersetzen, die denselben Randbedingungen (normalerweise dem Wert des Potentials auf dem Leiter) genügt, und dieses Problem lösen welches ist in der Regel wesentlich einfacher. Der Eindeutigkeitssatz in der Elektrostatik impliziert dann, dass die Lösungen für diese beiden Probleme gleich sein sollten, da sie beide die gleichen Randbedingungen erfüllen.

Ich könnte eine Lösung aufschreiben, aber es gibt bereits eine auf der Wikipedia-Seite sowie eine ziemlich gute hier , die ziemlich detailliert erscheint.

Es gibt eine sehr gute Antwort auf eine ähnliche Frage , die Ihnen auch helfen könnte.

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EDIT: Ich füge einen Hinweis auf die Lösung für eine nicht geerdete Kugel hinzu.

Potential finden:

Die Methode der Bilder funktioniert gut, wenn wir von einer geerdeten Kugel ausgehen (damit das Potential$V=0$an der Oberfläche). Mit einer kleinen Modifikation kann das gleiche Grundmodell jedoch auch eine Kugel mit beliebigem Potential handhaben$V_0$. Wir tun dies, indem wir eine zweite Ladung einführen.

Wie auf dieser Seite gezeigt , die Lösung für das Potential einer geerdeten Kugel mit Radius$R$und eine Gebühr$+q$auf Abstand$z=a$($a>R$) von seinem Zentrum ergibt sich, indem die gesamte Kugel durch eine induzierte Ladung ersetzt wird

$$q' = -\frac{q R}{a}$$

an einer Stelle

$$z = \frac{R}{a^2} < R$$

Wie ich bereits erklärt habe, haben beide Probleme nach dem Eindeutigkeitssatz garantiert dieselbe Lösung. Wie erweitern wir dies auf eine Sphäre mit einem beliebigen Potential? Wir müssen das Potential auf der Oberfläche der Kugel erhöhen und gleichzeitig eine Äquipotentialfläche beibehalten! Es sollte ziemlich offensichtlich sein, dass der Weg, dies zu tun, tatsächlich darin besteht, eine zweite Bildladung einzuführen (z$q''$) im Mittelpunkt der Kugel$z=0$. Da Potentiale additiv sind, verändert dies lediglich das Potential auf der Oberfläche der Kugel$V=0$zu einer Konstante$V = V_0 = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q''}{R}$, Wo$q''$kann je nach gewählt werden$V_0$.

Wenn die Sphäre neutral ist (wie in Ihrem Problem), dann verlangen wir das einfach$q' + q'' = 0$. Daher müssten Sie jetzt das Potenzial für das folgende Problem finden

Dies ist eine triviale Erweiterung, die Sie ausführen können sollten, wenn Sie den geerdeten Fall verstanden haben, diesmal jedoch mit 3 Termen, wobei der dritte das Potenzial aufgrund der Ladung ist$q'' = -q'$am Ursprung.

Bestimmung der Oberflächenladungsdichte:

Das Feld innerhalb eines Leiters ist Null, und das Feld außerhalb unendlich nahe daran ist gegeben durch

$$\mathbf{E} = -\mathbf{\vec{\nabla}}V = \frac{\sigma}{\epsilon_0}\mathbf{\hat{n}}$$

(Wenn Sie Probleme mit diesem Teil haben, würde ich Ihnen dringend raten, Kapitel 2 in Griffiths Elektrodynamik zu lesen. Ich habe es nirgendwo anders besser erklärt gesehen.)

Also, wenn wir das Potenzial kennen$V$Mit dieser Formel können wir die Oberflächenladungsdichte berechnen. Definieren

$$\frac{\partial V}{\partial n} = \vec{\nabla}V \cdot \mathbf{\hat{n}}, \quad \quad \quad \quad \implies \sigma = -\epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial n}\Big|_\text{on the surface}$$

Der Fall der Kugel ist also ziemlich einfach, da auf der Oberfläche der Kugel die Normalenrichtung ist$r$. Sobald Sie gefunden haben$V(r,\theta)$, können Sie leicht finden

$$\sigma(\theta) = -\epsilon_0 \frac{\partial V(r,\theta)}{\partial r}\Big|_{r=R}$$

was du können solltest. Wenn Sie Ihre Ergebnisse überprüfen möchten, sind hier zwei Lösungen:

1) Für eine geerdete Kugel ist die induzierte Oberflächenladungsdichte gegeben durch

$$\sigma_0 (\theta) = \frac{q}{4\pi R}\left( R^2 - a^2 \right) \left(R^2 + a^2 - 2 R a \cos\theta \right)^{-3/2}$$

(Sie könnten dies überprüfen, indem Sie über alles integrieren$\theta$. Was soll das Ergebnis sein?)

2) Für eine ungeerdete Kugel gilt:

$$\sigma(\theta) = \sigma_0 (\theta) + \frac{q}{4 \pi R a}$$