Lagrange für nichtlineare kleine Schwingungen

Question

Lagrange für nichtlineare kleine Schwingungen

Jordan Hernández

Meine ursprüngliche Lagrange-Funktion ist dies, aber ich möchte nichtlineare Terme unter Berücksichtigung kleiner Schwingungen erhalten:

L = M A^{2} [{\dot{θ}}^{2} (1 + 2 {Sünde}^{2} θ) + Ω^{2} {Sünde}^{2} θ + 2 Ω_{0} \cos θ] .

$L = ma^2[\dot \theta^2(1+ 2\sin^2\theta) + \Omega^2\sin^2\theta + 2\Omega_0\cos\theta] .$ Nun, Gleichgewichtspunkt der potentiellen Energie

U

$U$ Ist

\cos θ_{0} = \frac{Ω_{0}^{2}}{Ω^{2}}

$\cos\theta_0 = \frac{\Omega_0^2}{\Omega^2}$ . Wenn jetzt

Ω_{0} = Ω

$\Omega_0 = \Omega$ Und,

x = θ - θ_{0}

$x = \theta - \theta_0$ Wo

x

$x$ Winkelverschiebung ist. Dann Taylorentwicklung um den Gleichgewichtspunkt

θ_{0}

$\theta_0$ für potentielle Energie ist:

U = M A^{2} (- 2 + \frac{X^{4}}{4})

$U = ma^2(-2 +\frac{x^4}{4})$ und Kinetische Energie ist:

T = M A^{2} {\dot{X}}^{2} (1 + S ich N^{2} X) = M A^{2} {\dot{X}}^{2} (1 + 2 X^{2})

$T=ma^2\dot x^2(1+ sin^2x)=ma^2\dot x^2(1 + 2x^2)$ und schließlich ist Lagrange:

L = T - U = M A^{2} {\dot{X}}^{2} (1 + 2 X^{2}) - M A^{2} (- 2 + \frac{X^{4}}{4})

$L= T - U =ma^2\dot x^2(1 + 2x^2) - ma^2(-2 +\frac{x^4}{4})$ Ist der Prozess korrekt, und wenn ja, kann ich ihn mit sukzessiver Annäherung lösen?

Antworten (1)

Lagrange für nichtlineare kleine Schwingungen

Eli · Answer 1

Die potentielle Energie dividiert durch $m\,a^2$ Ist:

U = Ω^{2} {(Sünde (ϑ))}^{2} + 2 Ω_{0} \cos (ϑ)

$U={\Omega}^{2} \left( \sin \left( \vartheta \right) \right) ^{2}+2\, \Omega_{{0}}\cos \left( \vartheta \right)$

die Taylor-Reihe für ein kleines $\vartheta$ bei $\vartheta_0$ Und $\vartheta^n=0~,n=3,4,...~$ Ist:

U_{T} = U (ϑ_{0}) + \frac{\partial U}{\partial ϑ} |_{ϑ_{0}} (ϑ - ϑ_{0}) + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} U}{\partial ϑ^{2}} |_{ϑ_{0}} {(ϑ - ϑ_{0})}^{2}

$U_T=U(\vartheta_0)+\frac{\partial U}{\partial \vartheta} \bigg|_{\vartheta_0}\left(\vartheta-\vartheta_0\right)+\frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 U}{\partial \vartheta^2}\bigg|_{\vartheta_0}\left(\vartheta-\vartheta_0\right)^2$

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beachte das für $~\vartheta=\vartheta_0~~$ Sie erhalten kein statisches Gleichgewicht

Warum:

die Bewegungsgleichung:

\frac{D}{D T} (\frac{\partial T_{T}}{\partial \dot{ϑ}}) + \underset{- F}{\underset{⏟}{(\frac{\partial U_{T}}{\partial ϑ})}} = 0

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T_T}{\partial \dot \vartheta}\right)+\underbrace{\left(\frac{\partial U_T}{\partial \vartheta}\right)}_{-F}=0$

also ist F:

F = F_{1} (ϑ_{0}) + F_{2} (ϑ_{0}) (ϑ - ϑ_{0})

$F=f_1(\vartheta_0)+f_2(\vartheta_0)\,(\vartheta-\vartheta_0)$

mit $f_1=U'\bigg|_{\vartheta_0}~,f_2=U''\bigg|_{\vartheta_0}$

jetzt für $~\vartheta=\vartheta_0~,F=f_1(\vartheta_0)$

um so ein statisches Gleichgewicht zu erhalten $~\vartheta=\vartheta_0~$ Sie müssen die statische Kraft zur Bewegungsgleichung hinzufügen $f_1(\vartheta_0)$

Vermutlich liegt der Fixpunkt bei $\vartheta=\vartheta_0$ Sie müssten also den quadratischen Term in der Reihe für beibehalten $U$ , also ist der EOM linear und nicht trivial.

Lagrange für nichtlineare kleine Schwingungen

Jordan Hernández

Antworten (1)

Eli

ZeroTheHero

Eli

Warum ignorieren wir die Terme zweiter Ordnung in der folgenden Erweiterung?

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