Geschwindigkeit kleiner Schwingungen

Question

Geschwindigkeit kleiner Schwingungen

Physik
Oszillatoren
Annäherungen
klassische Mechanik
gekoppelte Oszillatoren

Arkya

Wir nehmen an, dass die Verschiebungen um das Gleichgewicht klein sind, in kleinen Schwingungen. Nehmen wir auch stillschweigend an, dass auch die Geschwindigkeit (eher ihre Größe) klein bleibt?

In Goldstein wird es bei der Berechnung erwähnt $T$ Funktion (Kinetische Energie), die die $m_{ij}$ Begriffe im Ausdruck von

T = \frac{1}{2} M_{ich J} {\dot{η}}_{ich} {\dot{η}}_{J}

$T=\frac{1}{2}m_{ij}\dot\eta_{i}\dot\eta_{j}$ kann wie folgt erweitert werden:

M_{ich J} (Q_{1}, . . . Q_{N}) = M_{ich J} (Q_{1}^{Ö}, . . . Q_{N}^{Ö}) + (\frac{\partial M_{ich J}}{\partial Q_{k}})^{Ö} η_{k} + . . .

$m_{ij}(q_{1},...q_{n})=m_{ij}(q_{1}^{o},...q_{n}^{o})+(\frac{\partial m_{ij}}{\partial q_{k}})^{o}\eta_{k}+...$

Hier das $q^{o}$ 's stehen für Gleichgewichtskoordinaten. Jetzt sagen sie das seitdem $T$ ist bereits quadratisch in der $\dot\eta$ 's können wir bei der Erweiterung von alle Terme vernachlässigen $m_{ij}$ außer dem ersten Term.

Aber setzt dies nicht voraus, dass die $\dot\eta$ 's sind alle klein, wenn es nie explizit so angenommen wurde?

Antworten (1)

Geschwindigkeit kleiner Schwingungen

Garyp · Answer 1

NEIN.

Kinetische Energie ist immer quadratisch (vorausgesetzt, wir sind nicht relativistisch), aber potentielle Energie ist niemals streng quadratisch. Um ein nahezu quadratisches Potential zu erhalten, muss man die Bewegung auf kleine Abweichungen um einen Gleichgewichtspunkt beschränken.

Update nach Kommentar

Der Ausdruck für $T$ kommt drauf an $\dot\eta$ , natürlich, aber es hängt auch davon ab $\eta$ durch die Koordinatenabhängigkeit des Trägheitstensors $m(q)$ . Bei einem System massiver Teilchen, das wir mit konventionellen Koordinaten analysieren, ändert sich die Trägheit der Teilchen, ihre Massen, nicht. Wenn sie jedoch in verallgemeinerten Koordinaten ausgedrückt wird, kann die Trägheit mit der Koordinate variieren. Um jedoch einen linearisierten Formalismus zu verwenden, müssen wir eine kinetische Energie haben, die davon abhängt $\dot\eta$ allein. Das heißt, die Trägheit muss konstant sein.

Um dies zu erreichen, beschränken wir die Koordinaten auf einen kleinen Bereich um den Gleichgewichtspunkt herum, einen Bereich, in dem sich die Trägheit nicht nennenswert ändert. Wir tun dies, indem wir expandieren $m(q)$ in einer Taylor-Reihenentwicklung, wobei nur der Term beibehalten wird, der nicht von abhängt $\eta$ . Beachten Sie, dass die Erweiterung eine Erweiterung in ist $\eta$ , nicht $\dot\eta$ , und Begriffe linear (und höher) in $\eta$ fallengelassen werden. Das heißt, es schränkt die Gültigkeit auf klein ein $\eta$ , nicht klein $\dot\eta$ Die Erweiterung hat nichts zu sagen $\dot\eta$ . Ich habe Goldstein nicht vor mir, aber ich vermute, die nächste Formel ist $T=m_{ij}(q^0)\dot\eta_i \dot\eta_j$ . Konstante Trägheit, und die Entwicklung kann in "normaler" Weise fortgesetzt werden.

Entschuldigung, aber ich verstehe nicht, wie das meine Frage beantwortet. Selbst wenn die kinetische Energie quadratisch ist, ist sie es in den Geschwindigkeiten, und kleine Abweichungen um das Gleichgewicht implizieren nicht unbedingt kleine Geschwindigkeiten, oder?
Das ist richtig. Kleine Abweichungen um das Gleichgewicht implizieren keine kleinen Geschwindigkeiten. Aber wir haben nie angenommen, dass die Geschwindigkeiten klein sind. Sie können unbegrenzt groß sein (bis sie relativistisch werden).
Wie macht es dann Sinn, alle Bedingungen der $m_{ij}$ Erweiterung außer dem ersten Term?
Ah. Ich habe die angegebene Formel falsch gelesen. Lass mich das überprüfen ...
Immer noch nein. Das ist eine Erweiterung des Trägheitstensors bzgl $\eta$ , nicht $\dot{\eta}$ . Auch hier ist die Kürzung gültig, wenn $\eta$ ist klein. Es sagt nichts über die Größe aus $\dot{\eta}$ . Es ist erforderlich, dass sich die Trägheit nicht zu sehr ändert, wenn sich das System aus dem Gleichgewicht bewegt. Dazu muss das System nahe am Gleichgewicht bleiben.
Wenn Sie über die Erweiterung von T sprechen, dann definitiv in Bezug auf $\dot\eta$ 'S. Ich verstehe deine Argumentation in diesem Fall nicht.
Ich verstehe Ihr Argument, aber was Goldstein ausdrücklich sagt, ist „da (der Ausdruck von T) bereits quadratisch in ist $\dot\eta$ , wird die niedrigste nicht verschwindende Annäherung an T erhalten, indem alle bis auf den ersten Term in den Erweiterungen von weggelassen werden $m_{ij}$ ". Ich verstehe also nicht, was die quadratische Natur in Bezug auf die verallgemeinerte Geschwindigkeit mit der Annäherung für den Trägheitsterm zu tun hat.
Ich glaube nicht. Ich bin mir nicht sicher, was Goldstein meint, aber ich vermute, dass er sagt: „Das einzige, was wir tun müssen, um die KE in die gewünschte Form zu bringen, ist festzulegen, wie der Trägheitstensor variiert $q$ . Wir brauchen nichts dagegen zu unternehmen $\dot\eta$ denn es ist schon in der gewünschten Form"

Geschwindigkeit kleiner Schwingungen

Arkya

Antworten (1)

Garyp

Arkya

Garyp

Arkya

Garyp

Garyp

Arkya

Garyp

Arkya

Garyp

Warum ignorieren wir die Terme zweiter Ordnung in der folgenden Erweiterung?

Oszillator mit abklingender Rückstellkraft

Ausdruck für potentielle Gesamtenergie in gekoppelten Systemen

Lagrange für nichtlineare kleine Schwingungen

Lagrange-Mechanik - kleine Oszillationen um die Gleichgewichtsdiagonalisierung

Lagrange für kleine Schwingungen

Was ist die physikalische Interpretation einer beliebigen Normalmode für Massen und Federn?

Was genau stellt eine Sinuswelle in Bezug auf Schallwellen dar?

Ist es möglich, ein "Ersatzpendel" für ein System aus zwei gleichen, aber senkrechten Pendeln zu finden?

Wie groß ist die Amplitude des Grenzzyklus des Van-der-Pol-Oszillators?