Nichtkonservative Kräfte in der Lagrange-Mechanik

Question

Nichtkonservative Kräfte in der Lagrange-Mechanik

usumdelphini

Im Lagrange-Formalismus mit dissipativer Reibungskraft $F$ , wir können schreiben

\frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{k}} - \frac{\partial L}{\partial Q_{k}} = Q_{k}^{(N C)}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_{k}}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_{k}}=Q^{(nc)}_{k}$

wobei ich die verallgemeinerte Kraft angegeben habe

Q_{k}^{(N C)} (Q) = \frac{\partial R_{J} (Q)}{\partial Q_{k}} F_{J} (\dot{R})

$Q^{(nc)}_{k}(\mathbf{q} )=\frac{\partial r_{j}(\mathbf{q})}{\partial q_{k}}\ F_j(\mathbf{\dot{r}})$

Und ' $nc$ “ steht für nicht konservativ.

Nehmen wir an, dass das System von einigen konservativen Kräften getrieben wird $\bf Q^{(c)}$ so dass

Q_{k}^{(C)} = - \frac{\partial U}{\partial Q_{k}}

$Q_k^{(c)}=-\frac{\partial U}{\partial q_k}$ Wo

U

$U$ ist die innere Energie.

Im folgenden Papier hat das System keine Trägheitskräfte ( $Re=0$ ) und sobald sie festgestellt haben $\bf q$ , $\partial r_{j}/\partial q_j(\mathbf{q})$ Und $F_j(\mathbf{r})$ Sie gehen direkt zur Lösung des folgenden Kräftegleichgewichts über

Q_{k}^{(C)} = Q_{k}^{(N C)} .

$Q_k^{(c)}=Q_k^{(nc)}.$ Warum?

Referenz

Polotzek, Katja, und Benjamin M. Friedrich. „Ein Drei-Sphären-Schwimmer für die Flagellen-Synchronisation.“ Neues Journal of Physics 15, No. 4 (10. April 2013): 045005. https://doi.org/10.1088/1367-2630/15/4/045005 .

Fragment von Interesse

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Nichtkonservative Kräfte in der Lagrange-Mechanik

QMechaniker · Answer 1

Das Argument des Papiers ist, dass eine niedrige Reynolds-Zahl bedeutet, dass |Trägheitskräfte| $\ll$ |viskose Kräfte|, dh dass die Kräfte $\sum_i {\bf F}_i=m{\bf a}\simeq{\bf 0}$ annähernd ausgeglichen. Entsprechend läuft dies in Lagrange-Gleichungen darauf hinaus, den kinetischen Term zu vernachlässigen $T$ , so dass die verallgemeinerten Kräfte $\sum_i {\bf Q}_i\simeq{\bf 0}$ annähernd ausgeglichen.

Danke, das hatte ich vermutet. Könnten Sie bitte ein wenig erläutern, warum dies der Vernachlässigung entspricht $T$ ? In welchem Stadium der "Konstruktion" der Lagrange-Funktion würden Sie auferlegen, dass Trägheit keine Rolle spielt, und sie daher vernachlässigen $T$ ?
@usumdelphini keineswegs ein Experte, aber kinetische Terme sind normalerweise proportional zu einer Art Trägheit, also würde das Setzen auf Null es loswerden (z $(1/2) mv^2$ Null wird, wenn $m\rightarrow 0$ ).
Ja, wenn man es formell machen wollte, könnte es reichen, im Grenzbereich verschwindender Trägheitsmasse zu arbeiten. Das macht Sinn. Danke!

Nichtkonservative Kräfte in der Lagrange-Mechanik

usumdelphini

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QMechaniker

usumdelphini

Jakob1729

usumdelphini

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