LIGO: Wie kann die Laserinterferometrie (Wellenlänge >10−710−710^{-7}m) Längenänderungen von Armen <10−1810−1810^{-18} m erfassen?

Das LIGO-Interferometer verwendet eine Homodyn- Erfassungstechnik. Grundsätzlich wird das in jedem Arm des Interferometers laufende Licht von derselben Laserquelle abgeleitet und im Ausgangskanal kombiniert und fällt auf eine Fotodiode.

Das Interferometer wird so betrieben, dass, wenn keine Gravitationswelle (GW) durch das Instrument geht, die Strahlen kombiniert werden, um einen dunklen Streifen zu erzeugen (dh sie sind so eingestellt, dass sie destruktiv interferieren). Es gibt einen kleinen Versatz davon, aber im Grunde ist die Phasendifferenz zwischen den kombinierenden Strahlen nahe$\pi$.

Die durch ein GW verursachte Phasendifferenz aufgrund der sich ändernden Länge eines Arms in Bezug auf den anderen kann abgeleitet werden als

$$\Delta \phi \simeq 2\pi \left(\frac{2hL}{c}\right) \left(\frac{c}{\lambda}\right) = \frac{4\pi}{\lambda} hL \ ,$$ Wo$L$ist die Länge der Arme,$\lambda$ist die Laserwellenlänge und$h$die Belastungsamplitude des Fravitationswellensignals ist. Eigentlich ist es ein bisschen komplexer als das, da die Arme als Fabry-Perot-Resonatoren fungieren, was bedeutet, dass das Licht in den Armen viele Male effektiv vor und zurück wandert (ungefähr 300 für LIGO, dh$L$beträgt effektiv 1200 km).

Für einen typischen dimensionslosen GW-Stamm von$h \sim 10^{-21}$,$\lambda = 1064$naja, dann$\Delta \phi \sim 10^{-8}$und wird mit der Frequenz des GW (typischerweise 20–2000 Hz) moduliert.

Das Problem reduziert sich dann auf das Kombinieren

$$E_{\rm tot} = E_0\sin (\omega_l t) + E_0 \sin (\omega_l t + \alpha + \Delta \phi)\ ,$$ Wo$E$ist das elektrische Feld in jedem Arm,$\omega_l$ist die Winkelfrequenz des Lasers und$\alpha$ist die versetzte Phase zwischen den Armen (nahe bei$\pi$).

Verwendung der Identität$\sin a + \sin b = 2 \cos[(a-b)/2] \sin[(a+b)/2$und Quadrieren des gesamten E-Felds, um eine Intensität zu erhalten:

$$I = 4E^2 \cos^2[(\alpha + \Delta \phi)/2]\, \sin^2[\omega_l t +(\alpha + \Delta \phi)/2]$$

Seit$\omega_l$viel größer als die GW-Frequenz und viel höher ist, als von jedem lichtempfindlichen Detektor abgetastet werden kann, dann kann der zweite Term im obigen Produkt durch seinen Zeitmittelwert von ersetzt werden$1/2$. Wenn wir nun die Gesamtleistung ermitteln$P_{\rm in}=E^2$als durchschnittliche Eingangsleistung für jeden Arm des Interferometers und beachten Sie dies$\cos^2 (a/2) = (\cos(a)+1)/2$Und$\Delta \phi \lll 1$

$$I = P_{\rm in} \left[1 + \cos(\alpha + \Delta \phi ) \right] \simeq P_{\rm in} \left[1 + \cos(\alpha) -\Delta \phi \sin(\alpha)\right] = 2P_{\rm in} \left[ \cos^2 (\alpha/2) - \frac{\Delta \phi}{2}\sin \alpha \right]\ .$$

Es ist der zweite Term innerhalb der Klammer, der das Signal des GW enthält. Dieses Signal ist proportional zur Leistung im Interferometer und der Phasendifferenz zwischen den Armen. Beachten Sie, dass, obwohl das Signal-zu-(Schuss-)Rauschen mathematisch maximiert wird, wenn$\alpha=\pi$, das würde bedeuten , dass das SNR 0/0 war ! In der Praxis ist also immer irgendein anderes Rauschen vorhanden$\alpha$ist ein wenig weg von verschoben$\pi$- Frickeet al. (2012) legt dies nahe$\alpha \sim \pi+ 6\times 10^{-5}$wird eingesetzt.

Die Leistungsaufnahme in jeden Arm beträgt etwa 600 W (die 100 kW, die Steve Linton in einem Kommentar erwähnt, sind nach Berücksichtigung des Fabry-Perot-Resonators, was ich oben getan habe, indem ich von einem "effektiven$L$"). In Abwesenheit anderer Formen von Rauschen wird die Photonenzählung (Schrotrauschen) zum begrenzenden Faktor und ist proportional zur Quadratwurzel der Leistung.

Das Ausgangssignal ist das oben diskutierte modulierte GW-Signal, das durch Detektieren von Photonen mit den Photodioden aufgezeichnet wird. Die Antwortfunktion, die das Photodiodensignal in eine Dehnung übersetzt, wird bestimmt, indem auf die Testmassen/Spiegel mit präzise kalibrierten Lasern eingewirkt wird, die mit GW-Frequenzen moduliert sind, die monochromatische Phasenverschiebungen in den Armlängen erzeugen können.