Lineares Transformationsproblem - Lösungsprüfung ; Beweisen allgemeiner Ergebnisse in der linearen Algebra

Lassen$U,V,W$seien endlichdimensionale Vektorräume vorbei$\mathbb{R}$. Lassen$T:U\rightarrow V, S:V\rightarrow W$lineare Transformationen sein.

(i) Beweisen Sie das$ker(T)\subseteq ker(ST)$und das ableiten$rank(T)\ge rank (ST)$

(ii) Wenn$S$ist 1-1 beweisen das$ker(ST)\subseteq ker(T)$und das$rank(ST)=rank(T)$

(iii) Angenommen$\{u_1,u_2,u_3\}$ist eine Grundlage für$U$,$\{v_1,v_2\}$ist eine Grundlage für$V$und das$T$ist definiert durch$T(u_1)=v_1+v_2, T(u_2)=2v_1+v_2, T(u_3)=v_1-v_2$. Beweise das$T$Karten$U$auf das Ganze$V$aber das$T$ist nicht 1-1.

Meine Lösung:

(ich)$Ker(ST)=\{u|S(T(u))=0\}$. Wenn$S$steht dann 1:1$Ker (ST)=Ker(T)$. Aber falls$S$1-1 ist es dann für einige nicht$v$wir haben$S(v)=0$, mit$v\ne 0$. Wir können haben$v=T(u)$und so$ST(u)=0$mit$T(u)\ne 0$. Als solche$Ker(T)\subseteq Ker(ST)$. Das sagt der Rangnullitätssatz$rank(T)=n-null(T)\ge n-null(ST)$durch die vorherige Zeile. Als solche$rank(ST)\ge rank(T)$wie behauptet.

(ii) Wenn$S$steht dann 1:1$S(a)=S(b)\Rightarrow a=b$.$Ker(ST)=\{u|ST(u)=0\}$.Aber seit$S$ist 1-1 und$S(0)=0$wir haben$T(u)=0$. Als solche$Ker(ST)=\{0\}\subseteq Ker(T)$, als$T$darf nicht 1:1 sein. So$rank(T)\le rank(ST)$. Aber wir haben früher das gegenteilige Ergebnis bewiesen und das Kombinieren dieser ergibt$rank(ST)=rank(T)$.

(iii) Ich bin von dieser Lösung nicht überzeugt, da sie nicht verwendet wird$T(v_2)$überall.$T(u_1+u_3)=2v_1$und auch$T(u_1-u_3)=2v_2$. Wir haben also Skalare$\alpha, \beta$so dass$\alpha T(u_1+u_3)+\beta T(u_1-u_3)=\alpha v_1+\beta v_2$was die Bedingung für das Spannen ist$V$. Ich weiß aber nicht, wie ich zeigen soll, dass es kein 1:1 ist.

Ist meine Lösung richtig?