Matrixdarstellung einer linearen Karte - gibt eine nicht quadratische Matrix zurück?

Lassen v sei der reelle Vektorraum v = { ( X , j , z ) ∈ R 3 | X + j + z = 0 } . Betrachten Sie die Grundlage für v gegeben von B = ( 1 − 1 0 ) , ( 0 1 − 1 ) .

Betrachten Sie die lineare Abbildung ψ : v → v definiert von ψ ( X , j , z ) = ( z , j , X ) .

Finden Sie die Matrixdarstellung M B ( ψ ) von ψ .

Ich dachte, eine Matrixdarstellung wäre die Matrix mit Zeilen als Auswirkung der linearen Abbildung auf die Spalten der Basis? Dann hätten wir M B ( ψ ) = ( 0 − 1 1 − 1 1 0 ) . Aber der nächste Teil der Frage fragt nach Eigenwerten, die nicht als existieren können M ist keine quadratische Matrix. Kann jemand helfen?

Beachten Sie, dass Sie zwei Vektoren zwei anderen Vektoren im selben Raum zuordnen. Dies bedeutet, dass die Matrix sein sollte 2 × 2 . Generell wenn v Dimension hat N dann jede lineare Karte v → v wird eine haben N × N Matrixdarstellung unabhängig davon, welche Basis Sie verwenden.

Antworten (1)

Was über Matrixdarstellungen gedacht wurde, ist falsch. So würden Sie vorgehen, um die Einträge von zu finden 2 × 2 Matrix von ψ relativ zur Basis B . Lassen v 1 , v 2 bezeichnen die Elemente von B . Wir glauben, dass

ψ ( v 1 ) = ( 0 1 − 1 ) = 0 ⋅ v 1 + 1 ⋅ v 2 .
Dementsprechend ist die erste Spalte von M B ( ψ ) wird von gegeben ( 0 , 1 ) . Das heißt, wir haben
M B ( ψ ) = ( 0 ? 1 ? ) .
Die zweite Spalte von M B ( ψ ) kann zum Ausdruck gebracht werden ψ ( v 2 ) als Linearkombination von v 1 Und v 2 . Wir glauben, dass ψ ( v 2 ) = ( − 1 ) ⋅ v 1 + ( − 1 ) ⋅ v 2 , so dass die zweite Spalte von M B ( ψ ) Ist ( − 1 , − 1 ) . Wenn wir all das zusammenfassen, stellen wir fest, dass die Matrix gegeben ist durch
M B ( ψ ) = ( 0 − 1 1 − 1 ) .

Was passiert mit dem dritten Eintrag der Matrixdarstellung? Wie in, tut die − 1 keine Wirkung haben?
@ turkey131 Ich verstehe nicht, warum Sie glauben, dass es einen "dritten Eintrag" geben sollte, und ich verstehe auch nicht, was Sie mit der "Wirkung" des − 1 .
@ turkey131 Vielleicht glauben Sie, dass wir diese erste Spalte durch Computer erstellt haben ψ ( v 1 ) und nur die ersten beiden Einträge nehmen. Darum geht es hier nicht . Ich schlage vor, dass Sie sich eine Minute Zeit nehmen, um zu versuchen, den erklärenden Text zu verstehen.
@ turkey131 Beachten Sie das
ψ ( v 2 ) = ( − 1 0 1 ) .
Die entsprechende Spalte von M B ( ψ ) (dh die Koordinaten dieses Ausgangs relativ zur Basis B ) Ist ( − 1 , − 1 ) . Beachten Sie, dass wir nicht einfach die ersten beiden Einträge des Ergebnisses verwendet haben.
Matrixdarstellung einer linearen Karte - gibt eine nicht quadratische Matrix zurück?
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