Liouvilles Theorem für die Raumzeit

Question

Liouvilles Theorem für die Raumzeit

wenige4

Der Satz von Liouville besagt, dass die Dichte des Phasenraums die Kontinuitätsgleichung bestimmt.

\frac{\partial ρ}{\partial T} + \sum_{ich = 1}^{N} (\frac{\partial (ρ \dot{Q_{ich}})}{\partial Q_{ich}} + \frac{\partial (ρ \dot{P_{ich}})}{\partial P_{ich}}) = 0

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\Big(\frac{\partial(\rho\dot{q_i})}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p_i})}{\partial p_i}\Big)=0$ Das bedeutet, dass die Anzahl der Staaten in Ihrem Statistiksystem zeitlich erhalten bleibt.

Meine Frage ist, ob es eine ähnliche Struktur wie die Dichte der Raumzeit gibt $\sqrt{-g}$ ? Bleibt das Volumen der Raumzeit erhalten? Wenn Sie sich die Geometrie der Raumzeit als physikalisch vorstellen möchten, muss es meiner Meinung nach etwas geben, das als Kontinuitätsgleichung für die Dichte der Raumzeit interpretiert werden könnte $\sqrt{-g}$ , Raumzeitereignisse sollten nicht ohne Grund verschwinden!

Vielleicht würde die Kontinuitätsgleichung etwa so lauten:

(\sqrt{- G} \frac{D X^{μ}}{D τ})_{; μ} = 0

$\big(\sqrt{-g}\frac{dx^\mu}{d\tau}\big)_{;\mu}=0$ Wo

x^{μ}

$x^\mu$ verfolgt irgendwie die Entwicklung eines Raumzeitereignisses. In einem Lehrbuch der Allgemeinen Relativitätstheorie kann ich keine Ergebnisse dieser Art finden, obwohl mir die Frage so wichtig erscheint. Was ist, wenn diese Gleichung nicht Null ist? Was macht es ungleich Null? Das Vorhandensein von Materie?

Bearbeiten: Mir ist jetzt klar, dass zur korrekten Definition dieser Kontinuitätsgleichung die induzierte Metrik einbezogen werden müsste $h_{\mu\nu}$ einer Menge von raumähnlichen Oberflächen mit einem zeitähnlichen Normalenvektor $n$ für jede Oberfläche, und die Gleichung würde dann ungefähr lauten

(\sqrt{H} \frac{D X^{μ}}{D N})_{; μ} = 0

$\big(\sqrt{h}\frac{dx^\mu}{dn}\big)_{;\mu}=0$ Der

x^{μ}

$x^{\mu}$ 's sollten Geodäten der gesamten Raumzeit sein mit Anfangsgeschwindigkeiten senkrecht zu einer dieser raumähnlichen Oberflächen. Jedem Punkt auf dieser Fläche entspricht eine Geodäte, also die

x^{μ}

$x^{\mu}$ 's hängen von der Position auf der Oberfläche ab.

QMechaniker

Es gibt kein Liouville-Theorem für generische Raumzeiten. Denken Sie zB an den Gravitationslinseneffekt oder die geodätische Abweichungsgleichung .

wenige4

Gravitationslinsen treten in Gegenwart von Materie auf, richtig? Da die Dichte der Raumzeit nicht äquivalent zur Krümmung ist, könnte es sein, dass in der Materie Raumzeitereignisse verloren gehen und außerhalb der Materie eine Krümmung aufgebaut wird, um die fehlende Gleichförmigkeit der Raumzeitereignisse auszugleichen. Ich entschuldige mich dafür, dass ich so ungenau spreche, ich beherrsche GR oder Differentialgeometrie nicht vollständig.

Antworten (1)

Liouvilles Theorem für die Raumzeit

Es gibt kein Liouville-Theorem für generische Raumzeiten. Denken Sie zB an den Gravitationslinseneffekt oder die geodätische Abweichungsgleichung .
Gravitationslinsen treten in Gegenwart von Materie auf, richtig? Da die Dichte der Raumzeit nicht äquivalent zur Krümmung ist, könnte es sein, dass in der Materie Raumzeitereignisse verloren gehen und außerhalb der Materie eine Krümmung aufgebaut wird, um die fehlende Gleichförmigkeit der Raumzeitereignisse auszugleichen. Ich entschuldige mich dafür, dass ich so ungenau spreche, ich beherrsche GR oder Differentialgeometrie nicht vollständig.

JamalS · Answer 1

Für eine allgemeine Riemannsche oder Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik $g$ , die kovariante Ableitung mit dem Levi-Civita-Zusammenhang erfüllt,

\nabla_{μ} \sqrt{| G |} = 0

$\nabla_\mu \sqrt{|g|} = 0$

Wo $g = \det g_{\lambda\sigma}$ . Dies kann aus der metrischen Kompatibilitätsbedingung bewiesen werden, $\nabla_\mu g_{\lambda\sigma} = 0$ die die Levi-Civita-Verbindung gewährleistet. Insbesondere ist es offensichtlich, wenn die Determinante ausgedrückt wird als

G = \frac{1}{4!} ϵ^{a β γ δ} ϵ^{μ v λ σ} G_{a μ} G_{β v} G_{γ λ} G_{δ σ} .

$g = \frac{1}{4!}\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma}g_{\alpha\mu}g_{\beta \nu}g_{\gamma\lambda}g_{\delta\sigma}.$

Das Verschwinden des Volumenelements unter kovarianter Differenzierung ist nützlich bei Manipulationen mit Tensordichten, da diese mit Faktoren von konstruiert werden $\sqrt{|g|}$ .

Dies ist jedoch nicht wirklich eine physikalische Tatsache, sondern nur eine Folge der Differentialgeometrie. Wenn wir Ihren Vorschlag annehmen,

\nabla_{μ} ({\dot{X}}^{μ} \sqrt{| G |}) = 0

$\nabla_\mu(\dot x^\mu \sqrt{|g|}) = 0$

seit $\nabla_\mu \sqrt{|g|} = 0$ , Ihr Vorschlag entspricht, $\nabla_\mu \dot x^\mu = 0$ .

Liouvilles Theorem für die Raumzeit

wenige4

QMechaniker

wenige4

Antworten (1)

JamalS

Wie viel Gravitation wird durch Zeitdilatation verursacht?

Gibt es einen Beweis, dass die Schwerkraft den Raum verbiegt, oder ist es nur die bequemste Erklärung? [Duplikat]

Demonstration der Allgemeinen Relativitätstheorie

Wie genau beschreibt die gekrümmte Raumzeit die Schwerkraft?

Wenn es keine Schwerkraft gibt, warum krümmt sich dann der Raum um die Erde?

Ist die Vorstellung dieses Videos von der Allgemeinen Relativitätstheorie korrekt? [Duplikat]

Erzeugt ein Objekt Gravitationswellen, wenn es nur in eine Richtung beschleunigt wird?

Gravitonen unbeeinflusst vom Gravitationslinseneffekt?

Eine einfache Möglichkeit, die Form der verzerrten Raumzeit zu messen

Wenn die Schwerkraft eine Krümmung der Raumzeit ist, was ist dann Magnetismus?