Lorentz-Invarianz des Integrationsmaßes

Es ist invariant, weil die Lorentz-Gruppe es ist$SO(3,1)$und der Buchstabe "S" steht für "special", was mathematisch die Bedingung bedeutet

$$\det M = +1.$$ Aber die Determinante ist genau der Koeffizient, mit dem die Volumenform multipliziert wird, wenn die Koordinaten Lorentz-transformiert werden: $$x \to M\cdot x\quad \Rightarrow \quad d^4 x \to \det M \cdot d^4 x$$ (diese determinantenbasierte Transformationsregel lässt sich auch ableiten, wenn man die Volumenform als antisymmetrischen Tensor mit 4 Indizes betrachtet) also wenn die Determinante gleich ist $+1$, das Maß ändert sich nicht. Also, $d^4 x$wird in der Regel interpretiert als $|d^4 x|$, also ist es eigentlich unveränderlich unter dem Ganzen $O(3,1)$, einschließlich der Metriken mit $\det M =-1$. Und der Zustand $\det M=\pm 1$(mit „OR“) folgt aus der Orthogonalitätsbedingung selbst, also ist das Adjektiv „special“ wirklich unnötig, wenn wir uns bereits auf pseudoorthogonale Matrizen konzentrieren.