Wie kann sich ein generisches Potential unter Lorentz-Transformationen transformieren?

Wenn Sie davon ausgehen$V(x)$ein Skalar sein , dann impliziert die Lorentz-Invarianz dies

Kann man auch zulassen$V$geschwindigkeitsabhängig sein, in diesem Fall kann man die Skalare verwenden$x^2,u^2,u\cdot x$im Potenzial (obwohl ich kein reales System kenne, das dies verwendet).

Wenn Sie es zulassen$V$Etwas Allgemeineres als ein Skalar zu sein, dann können Sie eine allgemeinere Abhängigkeit von haben$V$An$x$, zB im OP, wo$V$ist die nullte Komponente eines Vektors.

Eine allgemeinere Diskussion findet sich im Wikipedia-Eintrag Relativistic Lagrangeian mechanics . Zum Beispiel wird die allgemeine Analyse der Lorentz-Invarianz viel transparenter in der reparametrisaiton-invarianten Formulierung, wo die Lagrange-Funktion lautet

$V$feststehender Hintergrund

Beginnen wir damit, uns keine Gedanken darüber zu machen, woher das Potenzial stammt. Wenn die Physik in einem bestimmten Rahmen durch ein Potential gut beschrieben wird$V$, können wir (nach dem OP) dieses Potential als Zeitkomponente eines 4-Vektor-Potentials festlegen$A$, was dann eine Lorentz-invariante Theorie ergibt. Ich bin mir nicht sicher, wie ich die raumartigen Komponenten interpretieren soll$A$, aber es ist erwähnenswert, dass im Fall der Newtonschen Schwerkraft$V=-GMm/r$erhält man die Theorie des Gravitoelektromagnetismus . Mit anderen Worten, vielleicht ist das Beste, was wir tun können, um die Komponenten zu interpretieren, eine Analogie zum Elektromagnetismus herzustellen (wir werden eine geschwindigkeitsabhängige Auslenkung sehen, nachdem wir einen Schub gegeben haben).

Natürlich ist dieses Verfahren kein einzigartiger Weg, um aus einer Newtonschen Theorie eine Lorentz-Invariante aufzubauen. Lassen Sie uns mit arbeiten$4$-Kräfte eher als$4$-Potentiale. Dann können wir a schreiben$4$-Version von Newtons zweitem Gesetz:

Wo$x$ist die Position und$v$ist der$4$-Geschwindigkeit. Erweitern über$v=0$gibt:

Die Bedingung, dass die$4$-Kraft orthogonal zu sein$4$-Geschwindigkeitssätze$F^{(0)}_\mu$gleich$0$,$F^{(1)}$zu etwas Antisymmetrischem usw. Es ist klar, dass wir mindestens beibehalten müssen$F^{(1)}$, die E&M-artige Theorien liefert. Aber Lorentz-invariante Erweiterungen, die die nichtrelativistische 3-Kraft setzen$F_i$hinein$F^{(2)}_{itt}$eher als hinein$F^{(1)}_{it}$sind, denke ich, auch möglich.

$V$bezogen auf Materie

Wenn uns der Weg interessiert$V$bezogen wird, betreten wir den Bereich der Feldtheorie, die eingeschränkter ist als der vorherige Fall. Früher konnten wir das zulassen$F^{(i)}$über die Raumzeit willkürlich zu variieren, weil ein willkürlicher voreingestellter Hintergrund in Ordnung war (da das nichtrelativistische Potential als willkürlicher voreingestellter Hintergrund genommen wurde). Die Lagrange-Dichte einer Lorentz-invarianten Feldtheorie sollen wir aber nur aus den Feldern und ihren Ableitungen aufbauen. Unter starken Annahmen wie Lokalität / Renormalisierbarkeit usw. erhalten wir meines Erachtens die Theorien in Bruce Greethams Antwort, aber versuchen wir es mit einem etwas allgemeineren Kontext.

Gehen Sie von einem Vektorstrom aus$j^\mu$Quellen des Potentials (wie E & M, aber anders als GR) und davon ausgehen, dass die Theorie linear ist (also nur die Materie und nicht das Potentialfeld selbst das Potential liefert). Dann haben wir eine Feldgleichung, die so aussieht:

Wo$F$ist ein linearer Operator. Nehmen der Fourier-Transformation, Invertieren$F$, und mit dem haben wir nur$A$Und$k$zur Verfügung, um Lorentz-invariante Größen zu bilden, ergibt (glaube ich):

Wo$R$Und$S$sind beliebige Funktionen von$k$. Einstecken$j^\nu=\delta^{(3)}(x)\delta^\nu{}_0$und beim Betrachten der$A^0$Begriff kann Einschränkungen über die geben$V$Das mag sich aus einer solchen Theorie ergeben, aber ich konnte das nicht ganz herausfinden. (Zum Beispiel brauchen wir offensichtlich eine 3-Rotations-Invarianz, aber ich bin mir nicht sicher, ob es eine 3-Rotations-Invariante gibt$V$ergibt sich für die richtige Wahl aus$R$Und$S$. Vergleichen Sie dies mit dem vorherigen Abschnitt, wo sogar nicht rotationssymmetrisch$V$'s könnte befördert werden$A$'S).

Nun, das ist genau der Punkt. Selbst in der galiläischen Physik gibt es viele nichtskalare Lagrangianer, und sie sind sehr nützlich.

Die klassischen Potentiale, die Sie aufgezählt haben (gravitative und elastische), sind genau zwei Beispiele für nicht-skalare Potentiale. Sie werden physikalisch durch das Vorhandensein einer systemexternen Quelle erklärt (im ersten Fall die Schwerkraft der Erde, im zweiten Fall die Feder). Wenn Sie Transformationen auf das System anwenden, ändern Sie den Speicherort nicht.

Selbst im elektromagnetischen Fall, wenn das durch die Potentiale beschriebene Feld von Ladungen stammt, die nicht im System beschrieben sind, ist das zusätzliche Stück, das Sie erhalten, nicht Lorentz-invariant, da sich das Potential nicht ändert, da es extern ist. Der elektromagnetische Lagrange ist wirklich Lorentz-invariant, wenn Sie keine externen Felder haben und das Potenzial verwenden, um das Feld zu beschreiben, das von den Ladungen stammt, die Sie beschreiben.

Ihre Frage hat keine Antwort, da es kein vernünftiges klassisches relativistisches Mehrteilchenbild gibt. Ein entsprechendes No-Go-Theorem wurde von Currie, Jordan und Sudarshan, Reviews of Modern Physics 35 (1963), 350 bewiesen.

Siehe auch https://physics.stackexchange.com/a/32401/7924