Ist der Potentialterm in einer Lagrange-Funktion geschwindigkeitsabhängig?

Question

Ist der Potentialterm in einer Lagrange-Funktion geschwindigkeitsabhängig?

Benutzer575201

Ich weiß, dass der Lagrange eines Systems von der Koordinate (da die Art des darin enthaltenen Potentials von der Koordinate abhängt) und von Geschwindigkeit und Zeit (per KE bzw. PE) abhängig sein muss. Damit haben wir eine eingeschränkte Bedingung für die Art der Potentiale, mit denen wir umgehen können, Potentiale hängen nur von Zeit und Koordinaten ab, weiter nichts. Im Detail kann man folgendes von Grund auf ableiten (sog. Lagrange-Gleichung)

\begin{matrix} (1) & \frac{D}{D T} (\frac{\partial T}{\partial {\dot{Q}}_{ich}}) - \frac{\partial T}{\partial Q_{ich}} = Q_{ich} \end{matrix}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_i}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_i}=Q_i\tag{1}$ Wo

q_{i}

$q_i$ 's sind verallgemeinerte Koordinaten,

T

$T$ ist die kinetische Energie, und

Q_{j} := F_{i} \frac{\partial x^{i}}{\partial q^{j}}

$Q_j:=F_{i}\frac{\partial x^i}{\partial q^j}$ sind verallgemeinerte Kräfte. (Weitere Einzelheiten hier

x^{i} = x^{i} (q_{1}, q_{2}, q_{3}, t)

$x^i=x^i(q_1,q_2,q_3,t)$ Und

δ W = F_{i} δ x^{i}

$\delta W=F_i \delta x^i$ .) Nehmen wir diese Kraft an

Q_{i}

$Q_i$ hat Potenzial, so dass es ausgedrückt werden kann als

Q_{ich} = - \frac{\partial U}{\partial Q_{ich}} .

$\boxed{Q_i=-\frac{\partial U}{\partial q_i}.}$ Dann

(1)

$(1)$ kann ausgedrückt werden als

\begin{aligned} \frac{D}{D T} (\frac{\partial T}{\partial {\dot{Q}}_{ich}}) - \frac{\partial T}{\partial Q_{ich}} - Q_{ich} & = \frac{D}{D T} (\frac{\partial T}{\partial {\dot{Q}}_{ich}}) - \frac{\partial T}{\partial Q_{ich}} + \frac{\partial U}{\partial Q_{ich}} \\ (2) & = \frac{D}{D T} (\frac{\partial T}{\partial {\dot{Q}}_{ich}}) - \frac{\partial}{\partial Q_{ich}} (T - U) = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_i}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_i}-Q_i&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_i}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_i}+\frac{\partial U}{\partial q_i}\\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_i}\right)-\frac{\partial }{\partial q_i}(T-U)=0\tag{2} \end{align*}$ und wenn wir einschränken

U

$U$ in einer Weise dass

\frac{\partial U}{\partial {\dot{q}}_{i}} = 0

$\boxed{\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_i}=0}$ , dann können wir einstecken

U

$U$ In

(2)

$(2)$ wie im Folgenden

\frac{D}{D T} (\frac{\partial}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} (T - U)) - \frac{\partial}{\partial Q_{ich}} (T - U) = 0

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial }{\partial\dot{q}_i}(T-U)\right)-\frac{\partial }{\partial q_i}(T-U)=0$ und schließlich erhalten wir die Euler-Lagrange-Gleichung

\frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}}) - \frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} = 0

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$ Wo

L = T - U

$L=T-U$ .

Eine Bedingung bei der Aufstellung dieser Gleichung ist die Einschränkung der Potentialfunktion, dass sie nicht geschwindigkeitsabhängig sein darf. Wie kann man also die Lagrange-Funktion anwenden/erweitern, damit sie beispielsweise ein geschwindigkeitsabhängiges (oder sogar mit höherer Ordnung) Potential beschreiben kann?

Antworten (2)

Ist der Potentialterm in einer Lagrange-Funktion geschwindigkeitsabhängig?

QMechaniker · Answer 1

Das scheint ein Missverständnis zu sein. Geschwindigkeitsabhängige/verallgemeinerte Potentiale $U(q,\dot{q},t)$ sind in der Lagrange-Mechanik erlaubt . Siehe zB this , this , this & this verwandte Phys.SE Beiträge.
Es sollte betont werden, dass eine verallgemeinerte Kraft $Q_j$ hat möglicherweise kein Potential, nicht einmal ein geschwindigkeitsabhängiges / verallgemeinertes Potential. Beispiel: Dissipative Kräfte .

WarreG · Answer 2

Der zur Beschreibung der Lorentzkraft verwendete Lagrangian hat beispielsweise ein geschwindigkeitsabhängiges Potential. Die potentielle Energie ist $U = q \phi - q\vec{A} \cdot \dot{\vec{r}}$ was manchmal als verallgemeinertes Potential bezeichnet wird . Die kinetische Energie ist $T = \frac{m}{2} \dot{\vec{r}} \cdot \dot{\vec{r}}$ . Die Vorgehensweise ist die gleiche wie bei einem geschwindigkeitsunabhängigen Potential. Die vollständige Herleitung finden Sie auf der Wikipedia-Seite: https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force oder hier Ladung, geschwindigkeitsabhängige Potentiale und Lagrange .

Ist der Potentialterm in einer Lagrange-Funktion geschwindigkeitsabhängig?

Benutzer575201

Antworten (2)

QMechaniker

WarreG

Nicht-konservative system- und geschwindigkeitsabhängige Potentiale

Warum können wir einer dissipativen Kraft kein (möglicherweise geschwindigkeitsabhängiges) Potential zuschreiben?

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