Magnetkraft als relativistischer Effekt?

Kurze Antwort: Wenn Sie Dinge im Ruhesystem der Elektronen in Draht A analysieren wollen (dessen Elektronen sich relativ zum Draht weniger als halb so schnell bewegen wie die Elektronen in Draht B), müssen Sie nicht nur berücksichtigen die elektrische Kraft auf die Elektronen in Draht A, die abstoßend sein wird, wie Sie sagen, aber auch die elektrische Kraft auf die positiven Ladungen (die Ionen, die Elektronen verloren haben) in Draht A, zusammen mit der magnetischen Kraft auf die positiven Ladungen in Draht A, die sich in diesem Rahmen bewegen. Als ich dies in einem numerischen Beispiel unten tat, stellte ich fest, dass die Nettokraft auf Draht A anziehend war, obwohl die elektrische Kraft auf die Elektronen abstoßend war.

Lange Antwort: Die Durchschnittsgeschwindigkeit von Elektronen in Leitern ist eigentlich ziemlich langsam, aber schauen wir uns ein Beispiel an, in dem die Geschwindigkeiten groß sind, um die Zahlen etwas einfacher zu machen - sagen wir, in Draht A bewegen sich die Elektronen$\sqrt{0.0199}c$= 0,14106736c relativ zum Drahtruherahmen (die Zahl, die so gewählt wurde, dass der Abstand aufgrund der Lorentz-Kontraktion um genau 0,99 schrumpft, und in Draht B bewegen sie sich um$\frac{(0.6 + \sqrt{0.0199})c}{1 + 0.6\sqrt{0.0199}}$= 0,68323783c (diese Zahl wurde gewählt, damit die Addition von Geschwindigkeiten unten gut funktioniert). Der Draht selbst bewegt sich also bei v = -0,14106736c im Rahmen der Elektronen in Draht A, und die Elektronen in Draht B bewegen sich bei u = 0,68323783c relativ zum Draht selbst, sodass wir die Additionsformel für Geschwindigkeiten verwenden können um die Geschwindigkeit der Elektronen in Draht B im Rahmen von Draht A zu finden:$(v + u)/(1 + vu/c^2)$= (-0,14106736c + 0,68323783c)/(1 - 0,14106736*0,68323783) = 0,6c. Dies bedeutet, dass der Abstand der Elektronen in Draht B um einen Faktor von verringert wird$\sqrt{1 - 0.6^2}$= 0,8 im Rahmen von Draht A.

Wenn die lineare Ladungsdichte der positiven Ladungen im Ruhesystem jedes Drahtes ist$\lambda$, dann ist im Rahmen der Elektronen in Ader A die positive Ladungsdichte in Ader B$\lambda_{B+} = \lambda / 0.99$und die negative Ladungsdichte in Draht B ist$\lambda_{B-} = -\lambda / 0.8$. Unterdessen ist in diesem selben Rahmen die lineare Ladungsdichte von Elektronen in Draht A gerade$\lambda_{A-} = -\lambda$und die Dichte positiver Ladungen in Draht A ist$\lambda_{A+} = \lambda / 0.99$. Die Anziehungskraft pro Entfernungseinheit auf eine Linienladung aufgrund einer anderen Linienladung im Abstand d ist$- \lambda_1 \lambda_2 / 2 \pi \epsilon_0 d$, also ist die gesamte Anziehungskraft/Länge auf die negativen Ladungen in Draht A aufgrund sowohl der positiven als auch der negativen Ladungen in Draht B$-(\lambda_{A-}\lambda_{B-} + \lambda_{A-}\lambda_{B+})/2 \pi \epsilon_0 d$=$-((\lambda^2/0.8) + (-\lambda^2/0.99))/2 \pi \epsilon_0 d$=$- (0.19/0.792) \lambda^2 / 2 \pi \epsilon_0 d$=$- 0.2399 \lambda^2 / 2 \pi \epsilon_0 d$. Und die gesamte Anziehungskraft/-länge auf die positiven Ladungen in Draht A aufgrund sowohl der positiven als auch der negativen Ladungen in Draht B ist$-(\lambda_{A+}\lambda_{B-} + \lambda_{A+}\lambda_{B+})/2 \pi \epsilon_0 d$=$-(\lambda_{A+}\lambda_{B-} + \lambda_{A+}\lambda_{B+})/2 \pi \epsilon_0 d$=$-((-\lambda^2/0.792) + (\lambda^2/0.9801)) /2 \pi \epsilon_0 d$=$(0.1881/0.7762392) \lambda^2 / 2 \pi \epsilon_0 d$=$0.2423 \lambda^2 / 2 \pi \epsilon_0 d$. Sie können hier also sehen, dass die Nettoanziehungskraft auf die positiven Ladungen in Draht A tatsächlich etwas größer ist als die Nettoabstoßungskraft auf die negativen Ladungen in Draht A.

Um dann sicher zu sein, ob Ader A von Ader B angezogen oder abgestoßen wird, wenn wir die Dinge in diesem Rahmen analysieren, müssen wir auch die Lorentz-Kraft pro Längeneinheit auf die positiven Ladungen in Ader berechnen. Für einen Leitungsstrom ist Strom = (Ladung pro Längeneinheit) * (Geschwindigkeit der Ladungen), also der Strom aufgrund positiver Ladungen in Ader A, die sich in diesem Rahmen bei -0,14106736c bewegen, ist$\lambda_{A+} * -0.14106736c$=$-0.14249228 \lambda c$. Dies ist auch der Strom aufgrund positiver Ladungen in Ader B in diesem Rahmen. Und der Strom aufgrund negativer Ladungen in Draht B, die sich in diesem Rahmen bei +0,6 c bewegen, wäre$\lambda_{B-} * 0.6c$=$-0.75 \lambda c$. In diesem Rahmen ist also der Gesamtstrom in Ader A$-0.14249228 \lambda c$und der Gesamtstrom in Draht B ist$(-0.14249228 - 0.75) \lambda c$=$-0.89249228 \lambda c$. Ohne die Kraft/Länge herauszufinden, können wir also sehen, dass die Magnetkraft anziehend sein wird, da Ströme in der gleichen Richtung in parallelen Drähten dazu führen, dass die Drähte magnetisch angezogen werden. Um es zu berechnen, die Anziehungskraft pro Längeneinheit für zwei parallele gerade Drähte im Abstand d mit Strömen$I_1$Und$I_2$Ist$\mu_0 I_1 I_2 / (2 \pi d)$, also wäre in diesem Fall die Anziehungskraft$\mu_0 0.12717326 \lambda^2 c^2 / (2 \pi d)$.