Dies ist eine sorgfältiger argumentierte Version meines vorherigen Beitrags Viele-Welten-Interpretation widerlegt das Doomsday-Argument?
Standard-Doomsday-Argument
Sei N die Gesamtzahl der Menschen, die jemals leben werden.
Sei n unser gegenwärtiger Geburtsrang entlang der chronologischen Liste aller Menschen, die jemals leben werden.
Nach dem Satz von Bayes ist die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit von N bei n, P(N|n), gegeben durch
P(N|n) = P(n|N)P(N) / P(n).
Wenn wir davon ausgehen, dass n und N zuvor nicht bekannt sind, sollten wir die unechten A-priori-Wahrscheinlichkeitsverteilungen P(N)=1/N und P(n)=1/n verwenden.
Dies lässt uns mit der bedingten Wahrscheinlichkeit unserer gegenwärtigen Position n bei einer gegebenen endgültigen Gesamtbevölkerung N, P(n|N) zurück.
Das Doomsday-Argument geht davon aus, dass es nur eine Zukunft geben wird, sodass wir uns a priori mit gleicher Wahrscheinlichkeit an jeder Position n von 1 bis zu einem bestimmten Wert N befinden. Daher nehmen wir an, dass P(n|N) = 1/N.
Der Satz von Bayes ergibt dann
P(N|n) = P(n|N) P(N) / P(n) = (1/N) * (1/N) / (1/n) = n / N^2
Dies ist eine ordnungsgemäß normalisierte Wahrscheinlichkeitsverteilung, die es uns ermöglicht, den eindeutigen Wert N bei unserer aktuellen Position n zu schätzen.
Viele-Welten-Untergangsargument
Aber wie oben erwähnt, geht die einheitliche bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung P(n|N)=1/N implizit von einer Zukunft mit einer bestimmten endgültigen Gesamtbevölkerungsgröße N aus.
Wenn die Viele-Welten-Interpretation wahr ist, dann stimmt unsere gegenwärtige Position n mit vielen tatsächlich existierenden Zukünften mit unterschiedlichen Werten von N überein.
Wir können den Satz von Bayes in Bezug auf nicht exklusive "Gewichte" W anstelle von exklusiven Wahrscheinlichkeiten P ausdrücken:
W(N|n) = W(n|N) W(N) / P(n).
Wir nehmen an, dass es in Zukunft mehrere Werte der endgültigen Populationsgröße N geben wird, sodass wir Gewichte W(N|n), W(n|N) und W(N) haben, während nur ein Wert unserer gegenwärtigen Position n existiert vorherige Wahrscheinlichkeit P(n).
Das Gewicht unserer gegenwärtigen Position n bei allen zukünftigen Werten der endgültigen Gesamtbevölkerungsgröße N, W(n|N), ist gegeben durch
W(n|N) = Summe[N=n bis unendlich] P(n|N) W(N)
wobei P(n|N)=1/N die bedingte Standardwahrscheinlichkeit des Doomsday-Arguments unserer Position n bei einer bestimmten Gesamtbevölkerungsgröße N ist.
Wenn wir das anfängliche Prior-Gewicht für N annehmen, das durch W(N)=1/N gegeben ist, dann
W(n|N) = Summe[N=n bis unendlich] (1/N) * (1/N) = 1 / n
wobei wir die Summe mit einem Integral angenähert haben.
Wenn wir daher die vorherige Wahrscheinlichkeit für n annehmen, P(n)=1/n, dann ist der Satz von Bayes für das Viele-Welten-Szenario gegeben durch
W(N|n) = W(n|N) W(N) / P(n) = (1/n) W(N) / (1/n) = W(N).
Daher sind die späteren Gewichte für die endgültigen Gesamtpopulationsgrößen N, W(N|n) bei unserer gegenwärtigen Position n genau dieselben wie unsere a priori-Gewichte für N, W(N).
Daher hat sich unser Wissensstand über die Gewichte von N nicht geändert, nachdem wir von unserer gegenwärtigen Position n erfahren haben, und somit funktioniert das Doomsday-Argument im Viele-Welten-Szenario nicht.
Macht das Sinn?
Ihr Ansatz scheint mir ähnlich zu sein, wie eine vorherige Wahrscheinlichkeit über N zuzulassen, die sich nicht auf ein Viele-Welten-Argument stützen muss und genauso gut eine reguläre Bayes'sche Analyse sein könnte. Ich bin mir nicht sicher, was durch die Verwendung von "Gewichten" für viele Welten gewonnen wird, anstatt sich direkt mit Wahrscheinlichkeiten zu befassen. In jedem Fall könnten Sie davon profitieren, eine Bayes'sche Analyse des Doomsday-Arguments in O'Neill (2014) zu lesen . Das „Weltuntergangsargument“ behauptet eine „Bayesianische Verschiebung“ in den Überzeugungen, die auf der Beobachtung der Geburtsreihenfolge beruhen, und dieses Papier argumentiert, dass dies eine falsche Anwendung des Satzes von Bayes ist. Es spricht sich auch gegen die Verwendung eines unangemessenen Priors aus und gibt eine mathematische Form für das Posterior an, falls einige grundlegende Konsistenzbedingungen gelten.
Quentin Ruyant
Quentin Ruyant