Maxwells Stress Tensor

Was ist eigentlich der Maxwell Stress Tensor ? Ich verstehe, dass es abgeleitet ist

F = ∫ v ( E + v × B ) ρ   d τ

Griffiths beschreibt dies als „gesamte EM-Kraft auf die Ladungen im Volumen v ".

T ich j = ϵ 0 ( E ich E j − 1 2 δ ich j E 2 ) + 1 μ 0 ( B ich B j − 1 2 δ ich j B 2 )

Das führt uns zum Spannungstensor, aber da ist etwas, was ich nicht verstehe. Die angegebene Beschreibung ist

Physisch, T ist die auf die Oberfläche wirkende Kraft pro Flächeneinheit.

Von welcher Oberfläche sprechen wir hier? Eine beliebige Oberfläche? Im Fall von Beispiel 8.2 (Nettokraft auf die obere Halbkugel einer gleichmäßig geladenen Kugel) ist die fragliche Oberfläche eindeutig die Grenze der oberen Halbkugel und ihre "Scheibe", die die beiden Halbkugeln trennt. In anderen Fällen, wie z. B. Problem 8.4, wo wir zwei Punktladungen haben, die durch einen Abstand voneinander getrennt sind, müssen wir über eine bestimmte Oberfläche integrieren. Für ein solches Problem müssen wir "den Spannungstensor über der Ebene integrieren, die gleich weit von den beiden Ladungen entfernt ist", aber warum ? Wie würde das Aufsummieren der Kraft auf die Ebene, die die beiden Punktladungen trennt, gleich der Kraft auf jede Ladung sein?

Wie könnte es in einer leeren Ebene "Kraft pro Flächeneinheit" geben?

Antworten (3)

Der Maxwell-Spannungstensor wird als Analogon zum Spannungstensor in der Kontinuumsmechanik eingeführt und seine Form aus der Gleichung abgeleitet

d d t ∫ v ( p + g ) d v = ∮ S d S ⋅ T
wo p ist die Impulsdichte der Materie und g ist die Impulsdichte des EM-Feldes. Die rechte Seite ist ein Flächenintegral darüber S , die Grenze der Region v und es sieht aus wie die totale Oberflächenkraft in der Kontinuumsmechanik. Der Bereich und damit auch seine Oberfläche ist beliebig, die Gleichung gilt für jede Wahl. Befindet sich die Grenze im freien Raum, gibt es natürlich keine "Oberflächenkraft" im ursprünglichen Sinne, aber die Gleichung hat die gleiche Form, als ob es eine gäbe - wie in der Kontinuumsmechanik.

Alternativ kann man interpretieren d S ⋅ T auf der rechten Seite nicht als Oberflächenkraft pro Flächeneinheit, sondern als EM-Impuls, der in die Region eintritt v durch d S pro Zeiteinheit. Das ist vielleicht besser, da wir nicht von „Spannungskräften“ sprechen müssen, die im freien Raum wirken (auf was? ist eine gute Frage). Aber beide Ansichten werden häufig verwendet.

BEARBEITEN: Falls alles statisch ist, erzwingen Sie eine regelmäßige Ladungsverteilung ρ ( x ) (erstes geladenes Teilchen), das in der Region enthalten ist v ist

F = ∫ v ρ ( x ) E ( x ) d 3 x
Dies kann mithilfe der Maxwell-Gleichungen und der Vektorrechnung in transformiert werden
F = ∮ S d S ⋅ T
wo S ist Grenzfläche von v . Das bedeutet nur, dass die elektrostatische Kraft auf einen geladenen Körper entweder als Summe der "lokal" oder "in der Masse" wirkenden Elementarkräfte als "Volumenkräfte" berechnet werden kann, oder man kann alternativ die gleiche Kraft aus dem Feld in der Entfernung der umgebenden Oberfläche berechnen der Körper als Summe fiktiver Flächenkräfte. Der letztere Fall erinnert an eine Kontinuumsspannungskraft, aber der Zusammenhang ist nur mathematisch - physikalisch gibt es keine Kraft auf der Oberfläche, da dort keine Materie ist.

Nebenbemerkung: All dies wird normalerweise nur für reguläre Distributionen abgeleitet, wo ρ ist begrenzt. Für Punktladungen funktioniert die Herleitung nicht, weil für sie das Linksintegral keinen Sinn hat – sie sind ein Spezialfall, der zu einer anderen Theorie führt. Für Punktteilchen gilt übrigens die rechte Seite noch. Dies liegt daran, dass ein ähnliches Theorem für Punktteilchen mit leicht unterschiedlichem EM-Spannungstensor abgeleitet werden kann, was etwas überraschenderweise das gleiche Oberflächenintegral ergibt. Dies ist leicht daran zu erkennen, dass die Kraft zwischen zwei geladenen Körpern nicht davon abhängt, ob die Körper Punkte oder etwa gleichförmig geladene Kugeln sind.

Zurück zu den Fragen des OP: All diese Äquivalenz zwischen den beiden Möglichkeiten, die Kraft auszudrücken, bricht zusammen, sobald die Felder nicht mehr statisch sind. dann das Vorhandensein von EM-Impuls v kann nicht vernachlässigt werden. Dann ist die auf einen geladenen Körper wirkende Kraft nicht nur durch den rechten Integraltyp gegeben, sondern es wird angenommen, dass die ursprüngliche Gleichung für die Kraft – die erste Gleichung des OP (Integral eines lokalen Ausdrucks) – immer noch korrekt ist erweiterte Körper.

Obwohl ich verstehe, was Sie sagen, lässt es mich etwas unbefriedigt zurück. Es erklärt immer noch nicht, warum die Kraft zwischen zwei Punktladungen durch Integrieren des Spannungstensors über die Ebene zwischen ihnen berechnet werden kann.
@Astrum, ich habe die Antwort bearbeitet, um zu erklären, warum der Spannungstensor verwendet werden kann, um die Kraft zu finden.
Ich bin mir nicht sicher, warum die linke Seite keinen Sinn für eine Dirac-Delta-Verteilung hat. Sie müssen die Verteilungsfunktion auf die Identitätsfunktion geben, um eine zu geben, daher ist das Integral sinnvoll (da alle Integrale von Verteilungen sinnvoll sind, da die Verteilung auf die Identitätsfunktion einwirkt). Wenn Sie mit anderer Theorie nur Verteilungen meinen, dann folge ich Ihnen. Aber Sie haben über die Nicht-Punkt-Partikel als begrenzte Verteilungen gesprochen, daher bin ich mir nicht sicher, ob Sie mit Verteilung nur die 3-Form gemeint haben. Könnten Sie einen Namen der anderen Theorie oder ein Zitat angeben?
Was ich meinte ist das Integral
∫ v g d v
hat keinen Sinn für Punktteilchen. Dies liegt daran, dass Punktpartikel ein EM-Feld haben, das variiert   1 r 2 in der Nähe des Teilchens. Menge g = k E × B ist dann an der Stelle, wo das Teilchen ist, nicht integrierbar.

Ein Spannungstensor hat an jedem Punkt im Raum neun Komponenten. Gruppiert man sie in drei Dreiergruppen, kann man sich das als drei Vektorfelder vorstellen. Tun Sie dies. Jedes dieser Vektorfelder hat eine Divergenz, und das wären drei Skalarfelder. Sie könnten diese drei Skalarfelder kombinieren, um ein Vektorfeld zu erhalten. Was wäre, wenn dieses Vektorfeld die Kraftdichte (Kraft pro Volumeneinheit) wäre?

Die Kraft pro Volumeneinheit gibt an, mit welcher Rate sich der Impuls (pro Volumen) in diesem Volumen ändert. Das sagt uns also nicht, was der Stress ist, sondern nur, was seine Divergenz ist. Aber Sie können den Divergenzsatz auf jede schön begrenzte Region anwenden, um zu sagen, dass der Fluss des Spannungstensors aus der Region die Gesamtkraft ist, die auf das Volumen innerhalb der Region wirkt. Der Fluss durch die Oberfläche entspricht der über die Region integrierten Divergenz, sodass beide gegenüber denselben Dingen unempfindlich sind.

Im Zusammenhang mit all dem hier ist ein anderes Thema: in einem elektrostatischen Feld g = 0 während T ≠ 0 Wir haben also einen Impulsfluss, während die Impulsdichte Null ist. Meiner Meinung nach T sollte als eine Kombination aus Impulsfluss plus Spannung interpretiert werden, genau wie in der Kontinuumsmechanik das Analogon von T ist (indizierter Schreibweise)

σ ich k − ρ v ich v k
Der zweite Term in der Summe gibt den Impulsfluss an, der der Materiebewegung geschuldet ist, während der erste Term die Kräfte angibt, die auf einen bestimmten Teil der Materie wirken

Wie würden Sie die Einträge der Matrix aufteilen? T in solche zwei Komponenten?
Ich weiß es nicht, aber wenn wir Dinge wie das, was ich sagte, akzeptieren wollen (Fluss der Dynamik ≠ 0 während Impulsdichte = 0) muss ich das akzeptieren T beinhaltet sowohl Stress als auch Impulsfluss
Möglicherweise ist es nicht so, dass Sie die Einträge der Matrix teilen können T sondern wie Sie sie entsprechend der physikalischen Situation interpretieren
In der makroskopischen Theorie der elektrischen Stromleitung wird allgemein angenommen, dass ein elektrischer Nettostrom vorhanden ist, während die Ladungsdichte verschwindet. Ebenso glaube ich nicht, dass es ein wirkliches Problem gibt, einen nicht verschwindenden EM-Impulsfluss zu haben, wenn die Dichte des EM-Impulses verschwindet. Das sind noch abstraktere mathematische Größen als Ladungsdichte und Stromdichte.
Das Beispiel der makroskopischen Leitung wäre in Ordnung, wenn wir es getan hätten ρ v = J ≠ 0 während ρ = 0 Dies ist jedoch nicht der Fall ρ im Ausdruck für J ist nicht die Gesamtladungsdichte ist nur die Dichte in Bewegung
Mein Beispiel mit Leitung zeigt diese Dichte von etwas S und Flussdichte von etwas F müssen nicht gleichzeitig ungleich Null sein. Ich verstehe nicht, warum Sie haben wollen ρ v = J ≠ 0 und ρ = 0 zur selben Zeit; Davon gehe ich nicht aus. Es wäre mathematisch ungültig, da if ρ = 0 , ρ v = 0 für jeden Vektor v .
Wie Sie zuvor gesagt haben, müssen wir vielleicht einfach akzeptieren, dass etwas fließen kann, ohne dass etwas da ist. Ich denke jedoch, dass so etwas passieren kann, wenn wir uns vorstellen, dass Strömung durch die Bewegung von etwas mit Geschwindigkeit verursacht wird v dann sollte der Ausdruck für den Fluss sein J = ρ v und wie Sie darauf hingewiesen haben, macht es keinen Sinn, es zu haben ρ v ≠ 0 mit ρ = 0 . Für den Fall von elektrischem Strom ergibt sich diese Situation nicht, weil J = ∑ ρ k v k darf währenddessen nicht null sein ∑ ρ k kann immer noch null sein.
Ja, es ist kontraintuitiv, wenn wir uns das EM-Feld so vorstellen, als wäre es eine Flüssigkeitsströmung. Aber das ist nicht nötig - das EM-Feld gehorcht anderen Gleichungen als denen in der Strömungsmechanik.
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