Methode, um herauszufinden, ob ein Polynom irrationale Wurzeln hat?

Wenn$P$Grad$n$und mit$P(0)\ne 0$nur rationale Wurzeln hat, dann müssen diese tatsächlich (von Null verschiedene) ganze Zahlen sein und$P(0)$ist (bis zur Unterschrift) ihr Produkt. Daher

$$\tag1 \frac{P(|P(0)|)}{P(0)}=\frac{\prod_{i=1}^n(|P(0)|-\alpha_i)}{\prod_{i=1}^n(0-\alpha_i)}=\prod_{i=1}^n\left(1-\frac{|P(0)|}{\alpha_i}\right)$$ ist das Produkt von$n$ganze Zahlen. Als$P(0)\ne 0$, keiner der Faktoren ist$=1$. Wenn zusätzlich$P(|P(0)|)\ne 0$, keiner der Faktoren ist$=0$.

Fall 1. Wenn keiner der Faktoren in$(1)$Ist$=-1$, dann alle$n$Faktoren sind ganze Zahlen$\notin\{-1,0,1\}$und daher trägt jeder mindestens einen Primfaktor bei. Also in diesem Fall$z\ge n$, wie gewünscht.

Fall 2. Nehmen wir nun an, dass mindestens einer der Faktoren in$(1)$Ist$=-1$, was genau wann passiert$|P(0)|=2\alpha_i$für einige$i$. Beachten Sie, dass in diesem Fall das Produkt des anderen$n-1$Wurzeln ist$\pm2$, dh genau einer davon ist$\pm2$(Aber durch die zusätzliche Bedingung, dass$P(2)\ne 0$, es muss sein$-2$) und der Rest sind$\pm1$. Mit anderen Worten,

$$P(X)=(X-\alpha)(X+ 2)(X-1)^{n_1}(X+1)^{n_2}$$ für eine positive ganze Zahl$\alpha$und mit$n_1+n_2=n-2$. Explizit macht dies$|P(0)|=2\alpha$Und $$\tag2\frac{P(|P(0)|)}{P(0)}=\frac{P(2\alpha)}{P(0)}=(-1)\cdot (\alpha+1)\cdot (1+2\alpha)^{n_1}(1-2\alpha)^{n_2}$$

• Wenn$\alpha=1$, das wird$(-1)^{n_2+1}\cdot 2\cdot 3^{n_1}$und hat$z=n_1+1$Hauptfaktoren. Wie das macht$z<n$, erhalten wir Gegenbeispiele zur Behauptung! Betrachten Sie für ein konkretes Gegenbeispiel

  $$P(X)=(X-1)(X+2)=X^2+X-2,$$ wofür$\frac{P(|P(0)|}{P(0)}=\frac{P(2)}{-2}=-2$hat nur einen Primfaktor, aber nur rationale Wurzeln.

• Wir können nicht haben$\alpha=2$wie das machen würde$P(2)=0$.

• Wenn$\alpha\ge 3$, jeder Faktor in$(2)$außer das erste ist$\notin\{-1,0,1\}$, daher die einzige Möglichkeit zu haben$z<n$ist, wenn all dies ist$\pm$eine Primzahl. Insbesondere$(2\alpha-1,2\alpha+1)$muss ein Paar Primzahlzwillinge sein. Als$\alpha=2$ausgeschlossen ist, müssen diese Primzahlzwillinge die Form haben$6k\pm1$, dh wir müssen haben$\alpha=3k$Und$\alpha+1=3k+1$auch prim. Das passiert wann$a\in\{6, 30,36,96,156,210,330,546,576,660,726,810,936,966,\ldots\}$und führt so zu vielen weiteren Gegenbeispielen. Hier ist eine konkrete, weniger triviale:

  $$P(X)= X^4 - 94X^3 - 193X^2 + 94X + 192$$ hat$P(0)=192$,$P(192)=686536512$,$\frac{P(192)}{P(0)}= 97\cdot 191\cdot 193$, So$z=3<n=4$.