Naive kategorische Frage zu Primzahlen, Primzahlen und Irreduziblen

Meine Frage bezieht sich auf die "richtige" Art, an Primzahlen / Elemente zu denken.

Betrachtet man Primzahlen in$\mathbb Z$, gibt es zwei Möglichkeiten, sie zu charakterisieren:

1. $p$ist prim genau dann, wenn ihre einzigen Teiler sind$\pm 1,\pm p$
2. $p$ist prim iff$p\mid ab\implies p\mid a\;\vee\;p\mid b$

Die erste Charakterisierung führt zur Definition irreduzibler Elemente, während die zweite zum Begriff des Hauptelements führt, was dann zu Hauptidealen und allen möglichen netten Dingen führt. Ich bin versucht zu sagen, dass Primzahlen die „richtige“ Verallgemeinerung von Primzahlen sind, weil sie für die algebraische Geometrie zentral sind. In diesem Sinne ist vielleicht die zweite die „richtige“ Sichtweise auf Primzahlen, während die erste Charakterisierung nur ein Zufall ist, weil$\mathbb Z$ist ein UFD.

Inspiriert von Zhen Lins Antwort auf diese Frage wollen wir uns einen kommutativen Ring ansehen$R$als Kategorie mit$a\rightarrow b\iff a\mid b$. Dann können wir die beiden Ansätze wie folgt umschreiben:

1. In Bezug auf Pfeile hinein : die einzigen Pfeile hinein$p$stammen von seinen Mitarbeitern
2. In Bezug auf Pfeile daraus :$p\rightarrow ab\implies p\rightarrow a\;\vee\;p\rightarrow b$

Tatsächlich stimmen Primzahlen und Irreduzible in gcd-Domänen überein, und eine gcd-Domäne zu sein, ist (glaube ich) dasselbe wie die Kategorie zu fragen$R$Produkte zu haben. Damit Irreduzible Primzahlen sind, brauchen wir daher im Allgemeinen$R$um einige Vollständigkeitseigenschaften zu haben. Andererseits sind Primzahlen immer irreduzibel.

Eine unmittelbare Art und Weise, wie Primzahlen „besser“ sind, besteht darin, dass Primfaktorzerlegungen automatisch eindeutig sind. Um diese Anmerkung zu sehen, ist der Quotient durch ein von einer Primzahl erzeugtes Ideal ein Integralbereich. Dann nimm die Gleichheit$\prod_ip_i=\prod_jq_j$zu jedem Quotienten durch$\left\langle p_i \right\rangle$Gleichheit abzuleiten.

Aber ich frage mich, gibt es vielleicht einen überzeugenderen Grund, a priori den zweiten Ansatz anstelle des ersten zu wählen? Vielleicht ein ausgefallener (vielleicht sogar philosophischer) Grund, Pfeile zu betrachten$p$? Zum Beispiel dachte ich, dass der zweite Ansatz sinnvoller ist, weil er möglicherweise mehr Pfeile liefert als der erste.

Nicht strenge "philosophische" Begründungen sind ebenfalls willkommen. Ich möchte nur ein Gefühl dafür bekommen, wie die Leute Primzahlen betrachten.