Über die Koprimalität armbandartiger Zahlen

Bei einigen verwandten Recherchen (mehr Informationen in einer früheren Frage) bin ich auf dieses interessante Problem gestoßen, das ich anscheinend nicht selbst lösen kann:

Lassen Sie eine ganze Zahl$N$sei die Zahl der auf einem Armband aufgedruckten Ziffern, die zwei Werte annehmen kann: 1 und 0. Aufgrund der Rotationssymmetrie eines Armbands hat jedes Armband$N$mögliche "Rotationen" oder Folgen von Einsen und Nullen, die damit verbunden sind. Zum Beispiel die Sequenzen "$s_1 = 10010$", "$s_2 = 01001$", "$s_3 = 10100$" usw. sind alles Drehungen desselben Armbands (Verschieben aller Ziffern nach rechts und Schleifen am Ende).

Der Wert$V$einer bestimmten Reihenfolge$s$wird mit folgendem Verfahren entschieden:

1) Der Wert einer Sequenz ist die Summe der Werte$v_i$seiner Ziffern$s_i$, Wo$i$reicht von 1 (ganz rechts) bis$N$, (ganz links).

2) Der Wert der Ziffer ganz rechts$v_1$ist 1 wenn$s_1 = 1$, oder 0 wenn$s_1$= 0.

3) Der Wert$v_i$für$i > 1$Ist$v_i = 2^{i-1}*s_i*3^d$, Wo$d$ist gleich der Summe aller Ziffern$s_j$,$j<i$.

Nehmen wir als Beispiel die Sequenz$s$= 011.$v_1 = 1$, Und$v_2 = 2*1*3 = 6$, Und$v_3 = 4*0*9$, und so$V = 7$

Wie wir zuvor gesehen haben, hat jedes Armband$N$zugeordneten Sequenzen, und jeder von ihnen ist ein Wert zugeordnet. Für unser vorheriges Beispiel ("011") haben wir die anderen Sequenzen "101", "110". Ihre zugehörigen Werte sind$13$Und$14$bzw.

Um es noch einmal zusammenzufassen : Unser einzigartiges Armband hat die Werte 7, 13 und 14, die mit seinen Rotationssequenzen verbunden sind.

Satz : Für$N$>3 und ausgenommen Sequenzen, die sich vor der Schleife wiederholen$N$Zeiten (wie "000", "1010"), mindestens zwei Werte jedes Armbands sind relativ teilerfremd, EDIT: oder einer der Werte ist eine Primzahl.

Können Sie diesen Satz beweisen oder widerlegen? In unserem Beispiel sind 7 und 13 teilerfremd, da sie Primzahlen sind. Weitere Beispiele: Das Armband „00101“ hat die folgenden Werte, die seiner Sequenz und Rotation zugeordnet sind: EDIT 13,50,25,52,26.