Minimale Spinverbindung und der Standardinhalt von GR

Ich nehme an, das Vielbein ist ein Vektorbündelisomorphismus$e: TM \to E$, für ein Vektorbündel$E$. Ihre Quelle scheint zu verwenden$D_\mu$wo Sie verwenden möchten$\nabla_\mu$. Daher$D_\mu A_\nu = \nabla_\mu A_\nu$ist eine leere Aussage in dem Sinne, dass$\nabla_\mu$erscheint in der Notation der Autoren bedeutungslos. Was du zeigen willst, ist das

$$D_\mu A^a = e^{a}{}_\nu D_\mu A^\nu. \tag{1}$$ Beachten Sie, dass in diesem Ausdruck die linke Seite die kovariante Ableitung eines Elements von enthält $E,$während $D_\mu A^\nu$ist eine kovariante Ableitung eines Elements von $TM$. Was Sie zeigen möchten, ist, dass das Bild des letzteren unter $e$gleich dem ersteren.

Ihr Fehler ist, dass Sie überlegen$D_\mu A_\nu$etwas anderes sein als$\nabla_\mu A_\nu$, obwohl es sich tatsächlich um zwei verschiedene Notationen für dasselbe handelt . Ihr Ergebnis ist also nur die triviale Identität$D_\mu A_\nu = D_\mu A_\nu$. Erweitern Sie diese Anmerkung

$$\begin{align} D_\mu A_\nu &= D_\mu (e^a{}_\nu A_a) \end{align}$$ ist eine kovariante Ableitung von $TM^*$, und beim Erweitern gehen Sie von einer Verbindung aus $TM^*$, nämlich die Levi-Civita, die Sie nennen $\nabla$. Auch weiterhin: $$\begin{align} D_\mu A_\nu &= D_\mu (e^a{}_\nu A_a) \\ &= \partial_\mu (e^a{}_\nu A_a) - \Gamma^\rho{}_{\mu\nu}(e^a{}_\rho A_a), \end{align}$$ Wo $\Gamma$sind die Verbindungskoeffizienten Ihrer vermuteten Verbindung (Christoffel-Symbole). Als nächstes erweitern Sie den ersten Term über die Kontraktion über den Index $a$in Bezug auf die kovariante Ableitung auf $E$. Das ist nicht anders, als wenn wir sagen, dass zB $\partial_\mu (A^aB_a) = B_a\nabla_\mu A^a + A^a\nabla_\mu B_a,$und das Ergebnis ist garantiert konsistent von der Standard-Leibniz-Regel (Natürlichkeit in Bezug auf Kontraktion), da $\nu$ist jetzt ein Funktionsindex (deshalb übrigens die kovariante Ableitung von $e^a{}_\nu$wird jetzt unabhängig von der Ansicht unten definiert, da es sich um das Bild handelt $\partial_\nu$: $e(\partial_\nu) \in E$). Also abschließend: $$\begin{align} D_\mu A_\nu &= D_\mu (e^a{}_\nu A_a) \\ &= \partial_\mu (e^a{}_\nu A_a) - \Gamma^\rho{}_{\mu\nu}(e^a{}_\rho A_a) \\ &= A_a\left(\partial_\mu e^a{}_\nu - \Gamma^\rho{}_{\mu\nu}e^a{}_{\rho} + \omega_\mu{}^a{}_b e^b{}_\nu\right) + e^a{}_\nu\left(\partial_\mu A_a - \omega_\mu{}^b{}_a A_b\right), \end{align}$$ das ist dein Ergebnis. Wie Sie sehen können, folgt daraus, dass Sie das annehmen $D_\mu$verhält sich wie $\nabla_\mu$An $TM^*$, dh das $D_\mu = \nabla_\mu$dort, und die Standardmethode, um eine Verbindung herzustellen $E^*$ab eins $E$. Diese Annahme von Ihnen ist nicht falsch, denn wir wollen die kovariante Ableitung weiter $TM$(Und $TM^*$), um die Levi-Civita-Verbindung zu sein, aber es macht die Aussage $D_\mu A_\nu = \nabla_\mu A_\nu$trivial (da angenommen).

Zur Verdeutlichung: Wir versuchen, eine Verbindung zu definieren$E$, aber dies definiert keine neue Verbindung auf$TM$. Die Verbindung an$TM$bleibt die Levi-Civita-Verbindung, ob wir das Symbol verwenden$D_\mu$oder$\nabla_\mu$.

Hier folgt ein Blick auf den Grund$(1)$muss stimmen : So die Aussage$(1)$sucht eine induzierte Verbindung auf$E$(gegeben eins auf$TM$, die Levi-Civita), die in Bezug auf natürlich ist$e$, in dem Sinne, dass$e$pendelt dann mit den kovarianten Ableitungen. Das bedeutet, dass es keine Rolle spielt, wann wir die kovariante Ableitung eines Vektors (und damit eines beliebigen Tensors) abbilden$E$(entsprechendes Tensorbündel), bevor oder nachdem die Ableitung angewendet wird, was offensichtlich wünschenswert ist, wenn unser Zweck das ist$E$Und$TM$denselben physikalischen Inhalt beschreiben. In diesem Zusammenhang würde man verwenden$(1)$definieren$D_\mu V^a$:

$$\begin{align}\begin{split} D_\mu A^a &= e^{a}{}_\nu D_\mu A^\nu \\ \partial_\mu A^a + \omega_\mu{}^a{}_bA^b &= e^a{}_\nu\left(\partial_\mu A^\nu + \Gamma^\nu{}_{\mu\rho}A^\rho \right) \\ \end{split} &&\iff \omega_\mu{}^a{}_b &= e_b{}^\rho \left(-\partial_\mu e^a{}_\rho + e^a{}_\sigma\Gamma^\sigma{}_{\mu\rho}\right), \end{align}$$ wo wir die Tatsache verwendet haben, dass $e^a{}_\nu e_a{}^\mu = \delta^\mu_\nu$. Verwenden Sie diese Tatsache erneut und schließen Sie Verträge ab $e^b{}_\nu$auf beiden Seiten gibt nach $$\partial_\mu e^a{}_\nu - e^a{}_{\rho}\Gamma^\rho{}_{\mu\nu} + \omega_\mu{}^a{}_be^b{}_\nu = 0,$$ aber ich möchte betonen, dass wir die linke Seite a priori nicht gleichsetzen können $D_\mu e^a{}_\nu$, seit $e$weder ein Tangentenvektor noch ein Element von ist $E$. Diese Denkweise macht dies jedoch deutlich $(1)$ist sicherlich erforderlich, um sicherzustellen, dass daran gearbeitet wird $E$und Rückverwandlung zu $TM$liefert das gleiche Ergebnis wie die Bearbeitung $TM$.

So folgt aus Ihrem Standardausdruck: Ihr "Standardausdruck" für$D_\mu e^a{}_\nu$scheint zu implizieren, dass wir eher überlegen sollten$e^a{}_\nu$als Bestandteil von$E \otimes TM^*$, mit$D_\mu$Einwirken auf$(S,X) \in E\otimes TM^*$nach einer Art Leibniz-Regel:$D_\mu(S,X) = (D_\mu S,X) + (S,D_\mu X)$. Beliebiger Vektorbündelisomorphismus$TM\to E$kann natürlich eher so betrachtet werden und umgekehrt. Mit$e^a{}_\nu \in E \otimes TM^*$so betrachtet, finden wir

$$\begin{align} \tag{2} D_\mu A^a = A^\nu D_\mu e^a{}_\nu + e^a{}_\nu D_\mu A^{\nu}, \end{align}$$ Und $(1)$ist genau dann wahr, wenn der erste Term verschwindet. Da dies für beliebige Vektorfelder gelten muss, haben wir $D_\mu e^a{}_\nu = 0$. Beachten Sie die Ähnlichkeit mit der metrischen Kompatibilität und die Natürlichkeit in Bezug auf die Kontraktion. Nur dieses Mal halte ich es für weniger natürlich, diesen zweiten Ansatz in Betracht zu ziehen, da wir a priori keinen Grund haben, es zuzulassen $D_\mu$handeln $e^a{}_\nu$. Außerdem scheint es (nicht nur in dieser Frage) zu viel Verwirrung zu führen.

Fazit: Beide Betrachtungsweisen führen zum gleichen Ergebnis, wenn man das akzeptiert$(1)$muss wahr sein, aber ich halte es für natürlicher, dies im Zusammenhang mit Vektorbündelisomorphismen zu tun. Vergleichen Sie im zweiten Ansatz$(1)$Und$(2)$, und das Ergebnis folgt. Aber versuchen Sie zu verstehen, wo$(1)$kommt von.