Minimale Unsicherheit

Question

Minimale Unsicherheit

Mut

Ich bin verwirrt, als ich die Bedingung für minimale Unsicherheit gefunden habe. Der Autor in dem Buch, auf das ich mich beziehe, sagt das weiter

$|g\rangle=c|f\rangle$

ist die Bedingung für minimale Unsicherheit

für einige konstant $c$

Wo $|f\rangle=(\hat{A}-\langle A\rangle)\psi$

Und $|g\rangle=(\hat{B}-\langle B\rangle)\psi$

Wo $A$ Und $B$ sind irgendwelche Observables

Dies ist aufgrund der Schwarz-Ungleichung akzeptabel (da sie zu einer Gleichheit wird, wenn der Winkel zwischen 2 Vektoren Null ist), der Autor sagt weiter, dass diese Gleichheit sich ergibt, wenn

${\operatorname{Re}\langle f|g\rangle}={0}$

Ich verstehe nicht, warum dies die Bedingung sein sollte. Wenn also der Winkel laut Autor Null sein sollte, sollte er dies nicht tun

${\operatorname{Im}\langle f|g\rangle}$ gleich sein ${0}$ ?

da für alle Variablen $a$ Und $b$ das Argument von $z=a+ib$ kann nur Null sein, wenn die

$\tan^{-1}\frac{b}{a}=0$ was impliziert $b=0$ oder $\operatorname{Im}{z}=0$

Bitte helfen Sie mir zu verstehen, jede Hilfe ist willkommen

Timäus

Scheint völlig inakzeptabel , sei c=1,

\hat{A} = \hat{B} = {\hat{σ}}_{z}

$\hat A=\hat B=\hat\sigma_z$ dann behaupten Sie, dass jeder Zustand minimale Unsicherheit ist, aber nur er Eigenzustände von

{\hat{σ}}_{z}

$\hat\sigma_z$ haben eine minimale (null) Unsicherheit. Und in diesem Beispiel ist nichts orthogonal. Wenn c = 0 zulässig ist, können Sie außerdem eine minimale Unsicherheit in B, aber eine so große Unsicherheit in A haben, wie Sie möchten.

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Minimale Unsicherheit

Scheint völlig inakzeptabel , sei c=1, $\hat A=\hat B=\hat\sigma_z$ dann behaupten Sie, dass jeder Zustand minimale Unsicherheit ist, aber nur er Eigenzustände von $\hat\sigma_z$ haben eine minimale (null) Unsicherheit. Und in diesem Beispiel ist nichts orthogonal. Wenn c = 0 zulässig ist, können Sie außerdem eine minimale Unsicherheit in B, aber eine so große Unsicherheit in A haben, wie Sie möchten.

Muhsin Ibn Al Azeez · Answer 1

Die verallgemeinerte Unschärferelation zweier Operatoren $A$ Und $B$ Ist

σ_{A}^{2} σ_{B}^{2} \geq {(\frac{1}{2 ich} ⟨ [A, B] ⟩)}^{2}

$\sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq {\left( \frac{1}{2i} \langle\left[ A,B\right] \rangle\right)} ^2$ Wo

[A, B] = A B - B A

$[A,B]=AB-BA$ ist der Kommutator der Operatoren. Diese Beziehung wurde unter Verwendung von zwei Ungleichungen hergeleitet. Die erste ist die Schwarz-Ungleichung, die in Klammern notiert ist

⟨ F | F ⟩ ⟨ G | G ⟩ \geq | ⟨ F | G ⟩ |^{2}

$\langle{f|f}\rangle\langle{g|g}\rangle \geq |\langle {f|g}\rangle |^2$ Die zweite Ungleichung ist eine Bedingung für eine komplexe Zahl

z = x + i y

$z=x+iy$ :

| z |^{2} \geq j^{2}

$|z|^2 \geq y^2$
Es ist interessant zu sehen, was passiert, wenn wir verlangen, dass diese beiden Beziehungen Gleichheiten statt Ungleichheiten sind. Dies gibt uns eine Bedingung für die Funktionen f und g, die die minimale Unsicherheit zwischen ihnen ergibt. Im Fall der Schwarz-Ungleichung wollen wir

⟨ f | f ⟩ ⟨ g | g ⟩ = | ⟨ f | g ⟩ |^{2}

$\langle{f|f}\rangle\langle{g|g}\rangle =|\langle{f|g}\rangle |^2$ .

Um zu sehen, was dies impliziert, können wir den Beweis der Schwarz-Ungleichung untersuchen. Dazu führen wir die Funktion ein,

| H ⟩ = | G ⟩ - \frac{⟨ F | G ⟩}{⟨ F | F ⟩} | F ⟩

$|h\rangle =|g\rangle -\frac{\langle{f|g}\rangle}{\langle{f|f}\rangle} |f\rangle$ seit,

⟨ h | h ⟩ \geq 0

$\langle{h|h}\rangle \geq 0$ ,
indem Sie das Produkt mit sich nehmen,

⟨ H | H ⟩ = ⟨ G | G ⟩ - \frac{⟨ F | G ⟩}{⟨ F | F ⟩} ⟨ G | F ⟩ - \frac{⟨ G | F ⟩}{⟨ F | F ⟩} ⟨ F | G ⟩ + {(\frac{| ⟨ F | G ⟩ |}{⟨ F | F ⟩})}^{2} ⟨ F | F ⟩ = ⟨ G | G ⟩ - \frac{| ⟨ F | G ⟩ |^{2}}{⟨ F | F ⟩} \geq 0 ⟹ ⟨ F | F ⟩ ⟨ G | G ⟩ \geq | ⟨ F | G ⟩ |^{2}

$\langle{h|h}\rangle =\langle{g|g}\rangle -\frac{\langle{f|g}\rangle}{\langle{f|f}\rangle} \langle{g|f}\rangle -\frac{\langle{g|f}\rangle}{\langle{f|f}\rangle} \langle{f|g}\rangle +\left( \frac{|\langle{f|g}\rangle |}{\langle{f|f}\rangle}\right)^2\langle{f|f}\rangle\\ =\langle{g|g}\rangle -\frac{|\langle{f|g}\rangle |^2}{\langle{f|f}\rangle}\\ \geq 0\\ \implies \langle{f|f}\rangle \langle{g|g}\rangle \geq |\langle{f|g}\rangle |^2$
Um diese Ungleichheit durch eine Gleichheit zu ersetzen, müssten wir

| h ⟩ = 0

$|h\rangle =0$ . Somit haben wir nach der Definition

| g ⟩ = \frac{⟨ f | g ⟩}{⟨ f | f ⟩} | f ⟩

$|g\rangle=\frac{\langle{f|g}\rangle}{\langle{f|f}\rangle} |f\rangle$ Das heißt, die Schwarz-Ungleichung wird zu einer Gleichheit, wenn eine Funktion ein skalares Vielfaches der anderen ist:

| g ⟩ = c | f ⟩

$|g\rangle=c|f\rangle$ wobei c im Allgemeinen ein komplexer Skalar ist. Die zweite Ungleichung ist eine Gleichheit, wenn x=0 ist, sodass z rein imaginär ist. In unserer ursprünglichen Ableitung der Unschärferelation haben wir verwendet

z = ⟨ f | g ⟩

$z=\langle{f|g}\rangle$ , wenn wir also Gleichheit fordern, bekommen wir

R e (z) = 0

$Re(z)=0$

[bearbeiten]:

Hier $z=\langle{f|g}\rangle$ ist imaginär, weil wir für eine minimale Unsicherheit brauchen, dass die komplexe Zahl vollständig imaginär ist, wie ich bereits sagte. Und auch $|g\rangle =c|f\rangle$ . Daher, $z=c\langle{f|f}\rangle$ . Seit $\langle{f|f}\rangle$ immer reell ist, muss c eine komplexe Zahl sein.

Vielleicht muss ich meine Frage umformulieren, es ist ziemlich einfach, dass wenn $c$ ist dann komplex $Re(z)=0$ seit $z=\langle{f|g}\rangle$ ist komplex, also läuft meine Frage im Grunde darauf hinaus, warum $c$ muss komplex sein.
@Vishwaas Ich kann dich nicht verstehen. $z$ ist wegen der Gleichheit eine komplexe Zahl $|z|^2=y^2$ und dies ergibt, dass die Zahl c komplex sein muss. Schau mal in meine Bearbeitung.
Ich glaube, du drehst dich im Kreis, wenn du das beweist $c$ ist komplex, trotzdem bin ich zu dem Schluss gekommen, dass $c$ muss ein Komplex sein, weil das die allgemeinste Form ist, die eine Zahl annehmen kann. Danke.

Mut · Answer 2

Ich glaube, ich habe die Antwort auf meine eigene Frage herausgefunden

$|f\rangle$ Und $|g\rangle$ sind im Hilbert-Raum definiert, der ein innerer Produktraum ist, und eine der Eigenschaften dieses Raums ist

⟨ F | F ⟩ \geq 0

$\langle f|f \rangle \geq 0$

So $\langle f|f \rangle$ sollte echt sein,

Bei der Herleitung der Unschärferelation nehmen wir

(Betreff (z))^{2} + (Ich bin (z))^{2} \geq (Ich bin (z))^{2}

$(\text {Re}(z))^2+(\text {Im}(z))^2 \geq (\text {Im}(z))^2$

Wo $z=\langle f|g\rangle$

Die obige Ungleichung kann eine Gleichheit sein, wenn $\text {Re}(z)=0$ , dh $\text {Re}(\langle f|g\rangle)=0$

Also nehmen wir $|f\rangle=c|g\rangle$ (aufgrund der Schwarz-Ungleichung), was ergibt $\text {Re}(c\langle f|f\rangle)=0$ , seit $\langle f|f \rangle$ ist real (wie oben angegeben), $c$ muss komplex sein

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