Versagt die Heisenbergsche Unschärferelation bei einem zweidimensionalen starren Rotor?

Für ein Teilchen der Masse m, das auf die xy-Ebene beschränkt ist und eine kreisförmige Bewegung mit festem Abstand zum Ursprung, r und Polarwinkel durchläuft, θ konstant gehalten bei 90 ∘ , vereinfacht sich die Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten zu

− ℏ 2 2 ICH ∂ 2 Ψ ∂ φ 2 = E Ψ

Die normalisierten Lösungen dieser Gleichung sind

Ψ M = 1 2 π e ich M φ

Wo M ist eine ganze Zahl.

Die von der zurückgegebenen Eigenwerte L z ^ Und L 2 ^ Betreiber sind

L z ^ Ψ M = − ich ℏ ∂ Ψ M ∂ φ = M ℏ Ψ M

L 2 ^ Ψ M = ( L ^ X 2 + L ^ j 2 + L ^ z 2 ) Ψ M = M 2 ℏ 2 Ψ M

Die letzte Gleichung legt nahe, dass die Größe des Drehimpulses ist M ℏ , die wiederum gleich dem Betrag der Komponente in z-Richtung ist, M ℏ . Beide Werte können jedoch nur dann gleich sein, wenn die Komponenten in der X Und j Richtung sind beide gleich Null, dann sind alle drei Komponenten des Drehimpulses des Teilchens vollständig definiert. Dies scheint jedoch die Unschärferelation für den Drehimpuls zu verletzen, die besagt, dass zwei orthogonale Komponenten des Drehimpulses (z L X ^ Und L j ^ ) können nicht gleichzeitig bekannt und mit beliebiger Genauigkeit gemessen werden. Ich würde gerne wissen, ob an meiner Argumentation hier etwas falsch ist und ob dieses Beispiel überhaupt richtig formuliert ist.

"Beide Werte können aber nur gleich sein, wenn die Komponenten in x- und y-Richtung beide gleich Null sind" - warum? (Argumentieren Sie nicht klassisch, zeigen Sie es in der Quantenmechanik!)
Ich bin relativ neu auf diesem Gebiet der Physik, daher würde ich es vorziehen, wenn Sie mir alle Fehler verzeihen würden, die ich in Bezug auf den quantenmechanischen Formalismus gemacht habe.
Außerdem, wenn Sie nur die Schrödinger-Gleichung enthält φ , Sie können kein Momentum verwenden L 2 . Um es anders auszudrücken, L 2 ist im Grunde der Laplace-Operator in sphärischen Koordinaten, aber Ihre Funktionen e ich M φ sind keine Eigenfunktionen des Laplace-Operators.
@ZeroTheHero du kannst. Es ist nur die Gleichung in Zylinderkoordinaten nach der Auswahl ψ ( z ) = konst . und Entfernen der ρ -abhängiger Faktor.
@ACuriousMind hat dir die Antwort gegeben, aber falls das zur Klärung beiträgt: Die Komponenten des Drehimpulses in der X Und j Richtungen pendeln nicht, daher können sie nicht beide gleichzeitig gut definiert sein. Daher können sie sicherlich nicht beide Null sein.

Antworten (1)

Die Größenordnung von L kann nicht sein M ℏ . Um diese Notiz zu sehen, wenn Sie sagen M A G N ich T u D e Was Sie wirklich meinen, ist der Eigenwert. Schließlich messen wir in der Quantenmechanik in einem bestimmten Experiment einen Eigenwert eines Operators. Außerdem hast du davon ausgegangen Ψ M ist ein Eigenket von L . Ich weiß das, weil ich Ihre Aussage "beweisen" kann, indem ich Folgendes mache:

L 2 Ψ M = L ( L Ψ M ) = M ℏ L Ψ M = M 2 ℏ 2 Ψ M

Aber das alles kann nicht wahr sein, weil es das bedeuten würde L Und L z beide hatten die gleichen eigenkets und müssen daher pendeln. Aber das ist nicht wahr, [ L , L z ] ≠ 0

Aber ist nicht Eigenwert der L 2 ^ Operator ist gleich dem Quadrat der Größe des Drehimpulses des Teilchens?
Erstens macht die Größe von Vektoren in der Quantenmechanik keinen Sinn, weil die Größe erfordert, dass Sie alle drei Komponenten der Operatoren gleichzeitig kennen. Größe ist ein klassisches Konzept. Zweitens Eigenwert von L 2 ist das Quadrat nur dann, wenn sie die gleichen Eigenkets haben, aber sie haben es nicht. Glauben Sie mir nicht, schreiben Sie auf, was L in Bezug auf das Anheben und Absenken von Operatoren und ist L z und du wirst sehen.
Versagt die Heisenbergsche Unschärferelation bei einem zweidimensionalen starren Rotor?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v