Modell zum Verständnis der Spannung, die in einem hängenden Seil mit Masse variiert

Sie ersetzen Ihr Seil durch eine Kette$N$Seilsegmente (wie Ihre Quelle die Moleküle nennt, das könnte jedoch irreführend sein, also bleiben Sie bei Seilsegmenten) mit Masse$m$. Jeder von ihnen hat das Gewicht$F = mg$. Beschriften wir sie so, dass die niedrigste (in einem Koordinatensystem, in dem der Vektor$\textbf{g}$zeigt nach unten) hat einen Index$1$, der zweitniedrigste Index$2$usw. Im Beispiel des Seils, das an einem Ast befestigt ist, bewegt sich das Seil nicht, daher müssen sich die Kräfte an allen Seilsegmenten ausgleichen.

Daher erfährt das unterste Seilfragment die nach unten gerichtete Kraft$F_1 = mg$und die Aufwärtskraft$F_{21} = -F_1 = - mg$(die Kraft auf Segment eins aufgrund von Segment zwei). Sie müssen gleich sein, sonst würde Segment eins eine Beschleunigungsbewegung erfahren, die nicht Teil dieses Modells ist. Jetzt erlebt das zweite Seilsegment$F_2 = mg + F_{12} = mg - F_{21} = 2mg$. Dies muss wiederum ausgeglichen werden$F_{32} = - 2mg$. Wenn wir diesen Prozess fortsetzen, stellen wir fest, dass die$k$te Segment erfährt eine nach unten gerichtete Kraft$F_{k} = kmg$, die durch die Aufwärtskraft ausgeglichen wird.

Diese Kraft ist die Spannung, also haben wir das erste Ergebnis$T_k = kmg$. Nun müssen wir einige einschränkende Argumente verwenden, um zu einer kontinuierlichen Beschreibung des Seils zu gelangen. Dafür möchten wir die Gesamtzahl übermitteln$N$von Segmenten bis unendlich unter Beibehaltung der Gesamtmasse$M = Nm$Konstante. Das heißt, wir müssen sehen$m$als Form der Dichte$m = M/N$. Alle Segmente sollten gleichmäßig beabstandet sein, damit wir ausdrücken können$N$durch die länge$L$und der Abstand$\Delta x$über$N = L/\Delta x$. Also der Fall$N \to \infty$ist gleichbedeutend mit$\Delta x \to 0$.

Wir führen eine neue Variable ein$x = k \Delta x$das beschreibt bei welcher Länge der Index$k$landet auf dem Seil. Lass uns das alles zusammenfügen,

Nachtrag

Dieses Modell berücksichtigt nicht die Dynamik Ihres Systems. Das Modell ist eine reine Beschreibung, wie sich eine auf ein Seil ausgeübte Kraft in Form einer lokalen Spannung über das Seil verteilt (etwas genauer, wir haben es hier tatsächlich mit einer gleichmäßigen Kraftdichte zu tun). Ich denke, die Hauptverwirrung liegt in der Art von fehlerhaftem Bild, das Federsegmente mit Molekülen identifiziert. Dies ist eine gute Beschreibung, wenn man Proteine ​​beschreiben möchte, die sich im Grunde durch lange eindimensionale Molekülketten modellieren lassen. Ein Seil ist normalerweise eine dreidimensionale Kette von Molekülen, und es wird schwierig, diese Beschreibung wirklich auf eine molekulare Struktur zu reduzieren. Natürlich ist es nicht falsch, so darüber nachzudenken, aber dann fängt man an, sich über die Bewegung dieser Moleküle und all das zu wundern, was in diesem Modell nicht berücksichtigt wird.

Die Aussage hier ist einfach: Sie teilen ein Seil in mehrere identische Segmente, von denen jedes eine Kraft auf seinen Nachbarn ausüben und einer äußeren Kraft und den Kräften seiner beiden Nachbarn ausgesetzt sein muss. Sie wissen nicht , wie diese Kräfte mit der Dehnung des Seils zusammenhängen. Alles, was Sie wissen, ist das Gewicht $F$auf jedem Segment, und dass das Seil an einem Objekt (Ast) befestigt ist, das die Kräfte ausgleicht und dem Seil eine resultierende Länge verleiht $L$. Das (und nichts als das) ist in Ihrer Modellaufgabe gegeben . Anschließend berechnen Sie anhand des Modells weiter, wie sich die Kraft über die Länge des Seils verteilt und Sie erhalten$T(x)$.

Und das ist das. Das Seil könnte aus Gummi oder Stahl oder Haar bestehen. Das spielt bei Ihrem Modell keine Rolle, solange es seine endgültige Länge ist$L$und seine Gesamtmasse ist$M$, ergibt jedes Material das gleiche Ergebnis. Die Diskussion der Elastizität erfordert ein anspruchsvolleres Modell, zum Beispiel eine Kette von harmonischen Oszillatoren. Solche Systeme können betrachtet werden, wenn man von linearer Elastizität spricht.

Beginnen Sie am unteren Punkt. Lass es sein$dx$Länge dann erfährt es aufgrund seiner Masse Gravitationskraft$Mdx/l$.

Spannung$T$Wenn dieses Element diese Kraft ausgleicht, wenden Sie das dritte Gesetz an, um festzustellen, dass das oberste Element eine zusätzliche Kraft erfährt$Mg dx/l$In Abwärtsrichtung also Spannung am zweiten Element$T'$=$T+Mgdx/l$.

Sie können es wie eine arithmetische Folge behandeln und die finden$nth$Begriff.

An jedem Punkt$x$auf dem seil gibt es a$F_g = \frac{M}{L}gx$da zieht die Gesamtmasse aller 'Moleküle' nach unten$x$Ist$\frac{M}{L}x$. An jedem Punkt entlang des Seils wird also die „intermolekulare“ Kraft, die an jedem Punkt im Seil nach oben ausgeübt wird, um sich selbst stationär zu halten$\frac{M}{L}gx := T(x)$.

An jedem Punkt entlang des Seils$T(x)$ist eine kollektive „intermolekulare“ Kraft, die erforderlich ist, um das Objekt grundsätzlich zusammenzuhalten. und das haben wir gefunden$T(x) = Mg\frac{x}{L}$.

Modellieren Sie das Seil als eine lineare Anordnung ähnlicher Atome, wobei jedes Atom in einem konstanten Abstand voneinander getrennt ist$d$und hatte eine endliche Masse$m$.

Beginnen Sie mit dem Atom am untersten Punkt, es erfährt Gravitationskraft$mg$ist aber im Gleichgewicht, daher übt das obere Molekül Kraft aus$mg$aufgrund von Vanderwaal-Kräften.

Nun erfährt dieses obere Atom (zweites Atom von unten) eine Kraft$2mg$nach unten, daher ist die vom dritten Atom ausgeübte Kraft$2mg$.

Fortsetzung dieser nach oben$nth$Atom übt eine Kraft aus$(n-1)mg$und Erfahrungen$nmg$Gewalt.

Ein Punkt bei$x$Abstand vom Boden entspricht$n=x/d$also T=$xmg/d$.

Als Seilmasse$M=mN$wo$N$ist die Anzahl der Atome, die ist$L/d$.

$M=mL/d$, ersetzen Sie T und Sie erhalten die gewünschte Variante.