Modellieren eines rollenden Würfels

Nehmen wir das mal im Winkel an$\alpha=0$, prallt der Würfel ohne Energieverlust vom Boden ab. Denken Sie daran, dass die Drehung, wie Sie sagen, ohne Folie erfolgt. Die Energie des Würfels (kinetisch plus Potential) bleibt somit erhalten und es wird keine äußere Kraft benötigt, um seine Bewegung aufrechtzuerhalten.

Für diese Art von Problemen ist es zweckmäßig, den Lagrange-Formalismus der Mechanik eingeschränkter Systeme zu verwenden. In der Tat kann das Problem auf die Bewegung des Massenschwerpunkts reduziert werden, der gezwungen ist, sich nur entlang von Viertelkreisen zu bewegen; wir brauchen nur nicht zu vergessen, auch die kinetische Rotationsenergie zu berücksichtigen.

Lassen Sie uns den Winkel einführen$\beta$was für das System natürlicher ist:

$$\beta := \alpha + \frac{\pi}{4}$$

Da der Antrag "periodisch" sein wird, werden wir nur prüfen$\beta \in \big(\frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi\big)$, die den Konfigurationen zwischen "auf der Seite liegend" und "auf der angrenzenden Seite liegend" entsprechen. Dieses System ist eigentlich ein physikalisches Pendel , wenn auch umgekehrt (mit dem Massenmittelpunkt über dem Drehpunkt).

Um die Bewegungsgleichung zu finden, drücken Sie die vertikalen und horizontalen Koordinaten des Massenmittelpunkts durch aus$\beta$und die Seite des Würfels,$l$:

$$x = -\frac{l}{\sqrt{2}}\,\cos\beta, \quad y = \frac{l}{\sqrt{2}}\,\sin\beta$$

Berechnen Sie ihre zeitlichen Ableitungen, um das Quadrat der Geschwindigkeit zu erhalten:

$$\dot{x} = \tfrac{l}{\sqrt{2}}\,\dot{\beta}\sin\beta$$ $$\dot{y} = \tfrac{l}{\sqrt{2}}\,\dot{\beta}\cos\beta$$ $$v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = \frac{l^2}{2}\,\dot{\beta}^2$$

Trägheitsmoment des Würfels kennen

$$I = \frac{ml^2}{6}\,,$$ drückt die kinetische und potentielle Energie aus $$T = \frac{1}{2}\left(mv^2 + I\dot{\beta}^2\right) = \frac{ml^2}{3}\,\dot{\beta}^2$$ $$V = mgy = \frac{mgl}{\sqrt{2}}\,\sin\beta$$ um den Lagrange zu bekommen $L = T - V$.

Die Lagrange-Gleichung für unseren Freiheitsgrad$\beta$liest:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\dot{\beta}} - \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\beta} = 0$$

Speziell,

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{2ml^2}{3}\,\dot{\beta}\right) + \frac{mgl}{\sqrt{2}}\,\cos\beta = 0$$

oder mit anderen Worten

$$\ddot{\beta} = -\frac{3}{2\sqrt{2}}\frac{g}{l}\,\cos{\beta}$$

Dies ist im Wesentlichen die Gleichung des mathematischen Pendels . Es kann integriert werden, um die Ordnung um eins zu reduzieren:

$$\dot{\beta}^2 + \frac{3}{\sqrt{2}}\frac{g}{l}\,\sin\beta + C = 0$$

und entweder explizit mit speziellen Funktionen oder numerisch gelöst.

Bearbeiten: Damit der Würfel über die Kante kommt und tatsächlich rollt, anstatt zu schaukeln, muss man eine ausreichend hohe Anfangsgeschwindigkeit wählen, die in C codiert ist.

Dies ist ein komplexes Problem, also anstatt zu versuchen, eine allumfassende Lösung vorzuschlagen, schauen wir uns einfach die Kräfte an, die im Spiel sind:

In Rot ist der Kraftvektor, den wir als treibende Kraft verwenden werden$F$, in schwarz die Schwerkraft, in grün die Normalkraft und in lila die Reibungskraft (keine sind maßstabsgetreu).

Erstens, ohne dass andere Kräfte in der wirken$y$-Richtung (vertikal) ist die Normalkraft immer die Reaktionskraft des Bodens (erforderlich, um zu verhindern, dass der Würfel in den Boden einsinkt) auf die Schwerkraft:

$$F_N=mg$$

Reibung widersteht nun Bewegungen in der$x$-Richtung (horizontal) und wird normalerweise wie folgt modelliert:

$$F_F=\mu F_N=\mu mg,$$ Wo $\mu$ist ein Reibungskoeffizient.

Um ein Verrutschen zu verhindern:

$$F_F>F\implies \mu>\frac{F}{mg}$$ $F$Und $mg$üben nun entgegengesetzte Drehmomente um den Drehpunkt aus $P$, mit Nettodrehmoment :

$$\big(\tau_{net}\big)_{\alpha=\pi/2}=Fa-mg\frac{a}{2}$$

Wenn$\tau_{net}>0$dann tritt eine Winkelbeschleunigung im Uhrzeigersinn auf.

Dies ermöglicht uns auch eine weitere Definition$\mu$, da der Grenzfall ist:

$$F=\mu mg \:\text{and }F=\frac{mg}{2}$$

Der Mindestwert ist also:

$$\mu>0.5$$

Die Winkelbeschleunigung wird leichter als Energieerhaltungsproblem behandelt, als die verrichtete Arbeit$\tau_{net}$gleich der Änderung der kinetischen (Rotations-)Energie ist $\Delta K$:

$$W=\int_{\pi/2}^0\tau_{net}(\alpha)d\alpha=\Delta K$$

Aus der Trigonometrie:

$$\tau_{net}(\alpha)=F\sqrt{2}a\sin\big(\alpha +\frac{\pi}{4}\big)-mg\frac{\sqrt{2}}{2}a\sin\Big(\alpha-\frac{\pi}{4}\Big)$$

Bei der Integration haben wir:

$$W=\sqrt{2}aF=\frac12 I\omega^2$$

(Der$mg$Term entfällt, weil sich die potentielle Energie nicht ändert$U$über$\pi/2\to 0$)

Also am Ende des "Tumbles":

$$\omega=\sqrt{\frac{2\sqrt{2}aF}{I}}$$

Aber da der Würfel jetzt kinetische Energie hat und der tangentiale Geschwindigkeitsvektor gerade nach unten zeigt, muss der Würfel zurückprallen . Weder Reibung noch Kraft$F$kann das verhindern.

Etwas wie das:

1. Akkumulieren Sie die Drehung des Massenmittelpunkts.
2. Tipp oder Schlupf berechnen. Wenn es rutscht, akkumuliert es keine Rotation, sondern rutscht stattdessen.
3. Konvertieren Sie nach der Drehung alles wieder in Translation für die nächste Tipp- oder Schlupfberechnung (wo es wieder in eine mögliche Rotation zurückverwandelt wird) (das führt zum Problem des Schiebereglers).

Aber das ist nur ein ungefähres Denken, aber es ist schön und Sie können es allgemein auf jede Form anwenden.