Muss die Wirkung ein Lorentz-Skalar sein?

Beachten Sie zunächst, dass die nicht-relativistische Lagrange-Funktion zwar nicht invariant ist. Sie ändert sich um eine totale Ableitung, somit bleiben die Bewegungsgleichungen invariant. Der Grund für den Unterschied zwischen dem Lorentzschen und dem Galileischen Fall ist, dass die Gruppenwirkung der Lorentz-Gruppe auf die klassischen Variablen (Orte und Impulse) durch eine wahre Darstellung erfolgt, während im Fall der Galileischen Gruppe die Darstellung ist projektiv. In der Sprache der geometrischen Quantisierung,$exp(i \frac{S}{\hbar})$, Wo$S$ist die Aktion ein Abschnitt in$L \otimes \bar{L}$, Wo$L$ist das Vorquantisierungslinienbündel und$\bar{L}$es ist dual. Mit anderen Worten, die Aktion muss kein Skalar sein, sondern nur ein Ausdruck der Form:$\bar{\psi}(t_2)exp(i \frac{S(t_1, t_2)}{\hbar})\psi(t_1)$, Wo$\psi(t)$ist die Wellenfunktion zur Zeit$t$Und$S(t_1, t_2)$ist die klassische Aktion zwischen$t_1$Und$t_2$. Der Grund, warum die Darstellung im Galileischen Fall projektiv ist, hängt mit der Nichttrivialität der Kohomologiegruppe zusammen$H^2(G, U(1))$im Fall Galilei im Gegensatz zum Fall Lorentz. Ich habe in meiner Antwort auf Anirbit: Poincare-Gruppe vs. Galilean-Gruppe und in den darin enthaltenen Kommentaren eine ausführlichere Antwort zu einem sehr ähnlichen Thema gegeben .

Ja, es muss. Es garantiert nicht, dass die Gleichungen physikalisch exakte Lösungen haben, aber zumindest sieht alles relativistisch aus.

Der entscheidende Punkt, den Jackson hier anführt, ist, dass die Lagrange-Funktion physikalisch bedeutsam ist, da sie die Bewegungsgleichungen bestimmt; über die Extremum-Bedingung, wie es so kommt.

Erstens wird das Wirkungsintegral entlang eines Lorentz-invarianten Pfades genommen. Zweitens, da die Lagrange-Funktion physikalisch signifikant ist, sollte sie auch denselben Bereich auf dieselbe reelle Zahl aus dem ersten Postulat der Speziellen Relativitätstheorie abbilden. Daraus folgt, dass das Wirkungsintegral ein Lorentz-Skalar sein muss.