∇∇\nabla und Nichtlokalität im einfachen relativistischen Modell der Quantenmechanik

Nicht-Lokalität entsteht durch das Vorhandensein unendlich vieler Terme in dieser Erweiterung. Um das zu sehen, nehmen wir an, wir wenden die nicht-polynomiale Funktion an$f(\vec{z})$von$i\nabla$auf jede Funktion$\psi(\vec{x})$:$f(i\nabla) \psi(\vec{x})$. Vorausgesetzt, dass$f(z)$ist "nett genug", um die Fourier-Darstellung zu haben$f(\vec{z}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3} F(\vec{k}) e^{i \vec{k}\cdot \vec{z}}$für geeignete Transformationsfunktion$F(\vec{k})$. Dann:

$f(i \nabla) \psi(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3} F(\vec{k}) e^{i \vec{k}\cdot (i \nabla)} \psi(\vec{x}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3} F(\vec{k}) e^{- k\cdot \nabla} \psi(\vec{x}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3} F(\vec{k}) \psi(\vec{x}-\vec{k})$

Dies ist die Überlagerung von Werten von$g$berechnet an anderen Punkten als$\vec{x}$. das ist die Nichtlokalität.

Sie ist nichtlokal, weil die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion momentan von beliebig weit entfernten Teilen des Feldes abhängt. Bei einer Linearisierung mit der Quadratwurzel erhält man.

$$\begin{equation} i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\, \psi ~~=~~ \tilde{H}\,\psi ~~=\ \sqrt{\mathbf{\tilde{p}}^2 c^2 + m^2c^4}\ \psi\ =\ \nonumber \end{equation}$$

Wo die Tilden auf der$\tilde{H}$Und$\tilde{p}$definiert sie als Operator. Wir können hier die Reihe verwenden.

$$\begin{equation} \sqrt{1 + \tilde{p}^2} ~~= \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mbox{ $1 + \frac{1}{2}\tilde{p}^2 - \frac{1}{8}\tilde{p}^4 + \frac{1}{16}\tilde{p}^6 - \frac{5}{128}\tilde{p}^8 + \frac{7}{256}\tilde{p}^{10} - \frac{21}{1024}\tilde{p}^{12} + \frac{33}{2048}\tilde{p}^{14} - \frac{429}{32768}\tilde{p}^{16} + ....$}\nonumber \end{equation}$$

Es stellt sich heraus, dass diese Reihe durch einen endlichen Ausdruck dargestellt wird, und wir können definieren$\tilde{H}$wie folgt.

$$\begin{equation} i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\, \psi ~~=~~ \tilde{H}\,\psi ~~=\ \sqrt{\mathbf{\tilde{p}}^2 c^2 + m^2c^4}\ \psi\ =\ \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} =\ \pm \ mc^2\left\{ 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}\ (2n-2)!}{n!(n-1)!\ 2^{2n-1}} \left( \frac{\mathbf{\tilde{p}}^2}{m^2c^2}\right)^{n} \right\} \psi \end{equation}$$

Oder als Differentialoperator geschrieben:

$$\begin{equation} i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \, \psi ~~=~~ \tilde{H}\,\psi ~~= \end{equation}$$ $$\begin{equation} \pm \ mc^2\left\{ 1 - \sum_{n=1}^\infty \frac{ (2n-2)!}{n!(n-1)!\ 2^{2n-1}} \left( \frac{\hbar^2}{m^2 c^2}\ \right)^{n} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)^{n}\right\} \psi \nonumber \end{equation}$$

Anwenden dieser Art von Operatorreihe auf eine Wellenfunktion$\psi$entspricht einer Faltung mit einer Bessel-K-Funktion. Zum Beispiel kann man im eindimensionalen Fall mit der Fourier-Transformation zeigen, dass:

$$\begin{equation} \begin{aligned} & \sqrt{ \partial_x^2 - m^2}^{\,-1} \psi &=~~ &~~\, K_0(mx) ~*~ \psi \\ \end{aligned} \end{equation}$$

Wo$*$bezeichnet Faltung. Aus diesem Ergebnis kann man dann ableiten:

$$\begin{equation} \begin{aligned} & \sqrt{ \partial_x^2 - m^2}~~ \psi &=~~ &\tfrac{m}{x} K_1(mx) ~*~ \psi \\ \end{aligned} \end{equation}$$

Diese Faltung bedeutet das$\partial\psi/\partial t$hängt von nicht lokalen Werten von ab$\psi$

Hans