Nehmen Sie die Kontinuumsgrenze von U(N)U(N)U(N)-Eichtheorien

Der Charakter$\chi_R : G \to \mathbb{C}$einer Vertretung$R$ist definiert durch$\chi_R(U) = Tr_R(U)$, nämlich durch die Spur von$U$in der Vertretung$R$. Siehe zum Beispiel Anhang A von Aharony et al. . Dann erscheint die Gleichung, die Sie schreiben, vernünftig: Vermutlich gibt es sie$N_f$Hypermultiplets, jedes mit fundamentalen und antifundamentalen Feldern, die geben$Tr(U^m)$Und$Tr(U^{-m})$jeweils in der Summe über$R$. Die Spur wird von der Matrix genommen$U$weil die Felder in der Grundwelle liegen.

Der Faktor 2 sollte sich aus den Details ergeben, über welche Darstellungen genau summiert wird, dem Feldinhalt der Hypermultiplets usw., denen ich nicht zu folgen versucht habe.

Lassen Sie mich nun zur Verteilung der Eigenwerte, die in (C.5) erscheint, eine physikalische Erklärung geben, woher dies kommt. Sie betrachten die Thermodynamik einer Theorie über eine Kugel, also ist die Topologie die einer Kugel mal$S^1$-- die euklidische Kompaktzeit. In diesem Fall gibt es einen Nullmodus des Eichfelds, der dadurch entsteht, dass man ein konstantes Feld in thermischer Richtung einschalten kann. Dieser Modus kann (im Allgemeinen) nicht durch eine Eichtransformation entfernt werden, daher müssen Sie in einem Pfadintegral darüber integrieren. Dies wird beispielsweise in Abschnitt 4.1 von Aharony et al. erklärt . Sie können eine Eichtransformation verwenden, um diese Nullmodusmatrix zu diagonalisieren, sodass Sie mit den diskreten Eigenwerten der Matrix zum Integrieren übrig bleiben. Sie können auch zeigen, dass diese Eigenwerte auf einem Kreis leben, weil Sie sie verschieben können$2\pi$(bei einigen Normalisierungen) mithilfe einer Messtransformation, sodass Sie sie über einen Kreis integrieren müssen. Im großen$N$Grenze haben Sie eine unendliche Anzahl solcher Eigenwerte, aber sie sind immer noch darauf beschränkt, auf einem Kreis zu leben. Sie müssen sie also mit einer Dichte beschreiben, und das nennen sie die Verteilung$\rho$.

Bearbeiten: Erklärung von (C.6) hinzufügen

Um (C.6) herzuleiten, betrachten wir zunächst die Summe

Wo$\rho(\theta) = \frac{1}{N} \sum_i \delta(\theta - \alpha_i)$. Beachte das$\rho$hat die richtige Normierung.

Bei der Einnahme$N \to \infty$das Delta funktioniert in$\rho$wird sehr dicht, und wir können uns annähern$\rho$durch eine glatte Funktion, deren Wert bei$\theta$hängt von der Dichte der Deltafunktionen über das kleine Intervall ab$[\theta,\theta+\epsilon]$. Dies ist eine gute Annäherung, da die Funktion$\cos(n\theta)$über die wir integrieren, wird in diesen Intervallen nicht viel variieren, also wird es das Ergebnis nicht viel ändern, wenn man es mittelt, anstatt es zu sampeln. Wenn wir ans Limit kommen$N=\infty$Dies ist keine Annäherung mehr, da die Deltafunktionen stetig werden.

Das erklärt also die Herleitung des zweiten Terms in (C.6). Was den ersten Term betrifft, ist die Idee ähnlich, außer dass Sie zwei Integrale darüber haben$\theta,\theta'$Entsprechend der$i,j$Summen. Die Beiträge aus der$i=j$Bedingungen ($\theta=\theta'$im Integral) sind im Großen subführend$N$Grenze: Sie skalieren als$N$während der Rest wie skaliert$N^2$, sie werden also vernachlässigt.

Jetzt ersetzen$\cos(n(\theta-\theta')) = \cos(n\theta) \cos(n\theta') + \sin(n\theta) \sin(n \theta')$. Beachten Sie, dass im Pfad integral über$\rho$Sie können nur Eigenwertverteilungen berücksichtigen, die unter symmetrisch sind$\theta \to -\theta$, weil der ursprüngliche Integrand darunter invariant ist. Dies wird zum Beispiel bei Schnitzer explizit erwähnt , der die gleiche Berechnung durchführt. Das bedeutet also$\int d\theta \rho \sin(n\theta) = 0$. Ich denke, ab diesem Punkt sollte es klar sein.