Oszillation eines Bose-Einstein-Kondensats in einer harmonischen Falle

Wir wurden gebeten, eine theoretische Beschreibung des folgenden Phänomens zu versuchen:

Stellen Sie sich ein 2D-Bose-Einstein-Kondensat im Gleichgewicht in einer harmonischen Falle mit Frequenz vor$\omega$. Plötzlich wird die Falle um eine Strecke a entlang der x-Achse verschoben. Das Kondensat befindet sich nicht mehr in der Mitte des Ableiters und beginnt im Ableiter zu schwingen.

Zuerst dachte ich daran, eine 2D-Versuchswellenfunktion in der Gross-Pitaevski-Gleichung oder den hydrodynamischen Gleichungen für Kondensate zu verwenden, aber dann wurde uns gesagt, dass wir uns eigentlich ansehen sollten, wie die Energie des Kondensats von bestimmten Parametern (Position, Breite, ...) .) und etwas damit anfangen, dass bei kleinen Abweichungen eines solchen Parameters eine Entwicklung zweiter Ordnung vorgenommen werden kann, die eine Rückstellkraft einbringt.

Das ist für klassische Bewegung sinnvoll, aber in diesem Fall hat es mich verwirrt, weil ich nicht weiß, ob die Energie, die hier gemeint ist, die ursprüngliche potentielle Energie der harmonischen Falle oder die mit der GP-Energie berechnete Gross-Pitaevskii-Energie ist funktionell. Letzteres, das in einer früheren Übung für eine Variations-Gauß-Wellenfunktion berechnet wurde, stellte sich heraus$E = \hbar \omega \sqrt{1+Na_s}$(mit$a_s$die Streulänge für die Wechselwirkungsenergie) und ist somit nicht einmal ortsabhängig.

Hat jemand eine Idee, wie ich diese theoretische Beschreibung anfangen oder angehen soll?