Paradox in der Definition von Arbeit [Duplikat]

Sie haben also etwas entdeckt, das eigentlich sehr wichtig ist, und wenn es nach mir gehen würde, würde es in jedem beginnenden Mechanik-Lehrbuch stehen.

Es ist so, dass Energie nur ein Pseudo -Zeug ist.

Wenn Sie herkömmliches Zeug in einer Kiste haben, dann hat es zwei Eigenschaften:

1. Wenn sich die Menge an Sachen in der Kiste ändert, muss es sein, dass Sachen entweder durch die Seiten geflossen sind oder von einem anderen „Außen“ dorthin teleportiert wurden (also „konserviert“ werden) und
2. Wenn Sie diese Kiste in Bewegung setzen, ist sich jeder Betrachter einig, wie viel Zeug in der Kiste ist (es ist „rahmenunabhängig“).

Energie gehorcht dem ersten, sie wird konserviert, also kann man sie sich als eine Art „Zeug“ vorstellen. Aber es ist nicht Frame-unabhängig, also ist es nicht ganz ein Stoff in der Art, wie, sagen wir, Zuckermoleküle ein Stoff sind. Wenn Sie in ein Referenzsystem übergehen, in dem Sie mit dem Fallschirm auf Stonehenge hinunterfliegen, scheint es sich mit konstanter Geschwindigkeit nach oben zu bewegen und hat daher eine kinetische Energie. Diese kinetische Energie ändert sich nicht, weil sie in einem Zustand des Kräftegleichgewichts existiert, also überhaupt nicht beschleunigt, aber sie ist auch nicht Null.

Wenn die Kräfte nicht ausgeglichen sind, sind sich alle über Geschwindigkeitsänderungen einig. Aber die kinetische Energie hat eine quadratische Geschwindigkeit, so dass eine Änderung der Geschwindigkeit auf eine viel größere Änderung der kinetischen Energie in jenen Referenzrahmen abgebildet wird, in denen sich das Ding bereits sehr schnell in diese Richtung bewegt.

$$\frac12 ~m~ (u + v)^2 = \frac12 ~m~ u^2 + m~u~v + \frac12~m~v^2.$$ Also fährt ein Zug schneller vorbei$v=1\text{ km}/\text{hr}.$Im mitfahrenden Rahmen wo$u=0$die Änderung der kinetischen Energie ist ein gewisser Betrag$E=\frac12mv^2$. Aber in dem Rahmen, in dem sich dieser Zug vorwärts bewegt$u=100\text{ km}/\text{hr}$, bedeutet dieses quadratische Gesetz, dass es gewonnen hat$201 E$der kinetischen Energie. Die Basisenergien sind nicht gleich (es begann mit$10000~E$Energie), und auch die Änderungen sind nicht die gleichen.

Die Lösung besteht darin, jede Kraft mit der Geschwindigkeit zu multiplizieren, auf die sie wirkt, um die Rate zu erhalten, mit der sie die kinetische Energie ändert. Dies wird die Kraft genannt, die diese Kraft zu jedem Zeitpunkt ausübt, und es ist ein Skalarprodukt, also gibt es auch einen Kosinus des Winkels zwischen der Kraft und der Geschwindigkeit,$P = \vec F \cdot \vec v = F~v~\cos\theta.$

Wenn Sie die von allen Kräften ausgeübte Nettokraft über die Zeit integrieren, erhalten Sie die Gesamtänderung der kinetischen Energie. Aber wenn die Kraft konstant ist, multiplizieren Sie einfach eine Geschwindigkeit mit einer Zeit, und das gibt Ihnen die Verschiebung des Objekts.

Das Arbeits-Energie-Theorem gilt also immer noch im neuen Referenzrahmen, es ist nur so, dass die Änderungen der kinetischen Energie alle unterschiedlich sind, also müssen die Arbeiten auch unterschiedlich sein, damit die Mathematik die Arbeit immer noch mit der Änderung der kinetischen Energie gleichsetzt.

Sie haben etwas sehr Wichtiges über die Arbeit bemerkt, etwas, das fast nie explizit in Physik-Einführungskursen erwähnt wird. Konkret: Arbeit ist Rahmenvariante. Das bedeutet, dass der Arbeitsaufwand vom Bezugssystem abhängt.

Daher ist die unmittelbare Reaktion auf diese Beobachtung normalerweise so etwas wie „aber wenn die Arbeit vom Bezugsrahmen abhängt, dann kann Energie nur in bestimmten Bezugsrahmen eingespart werden“. Der Schlüssel zum Verständnis besteht darin, sich daran zu erinnern, dass auch der Impuls erhalten bleibt, und sich mit den Folgen der Impulserhaltung auseinanderzusetzen.

Angenommen, Sie haben eine Person, die ein Gewehr von der Ladefläche eines Pickups aus abfeuert. Der Einfachheit halber sagen wir, dass der Lastwagen 1000 kg wiegt und reibungsfreie Räder hat, die Kugel 5 g wiegt und nach dem Abfeuern die Kugel eine Geschwindigkeit von 200 m/s in dem Rahmen hat, wo der Lastwagen und die Kugel ursprünglich ruhten. In diesem Rahmen hat die Kugel 100 J an Energie gewonnen und einen Impuls von 1 kg m/s. Aufgrund der Impulserhaltung hat der LKW einen Impuls von -1 kg m/s und damit eine vernachlässigbare Geschwindigkeitsänderung von -1 mm/s.

Betrachten Sie nun die gleiche Situation in dem Rahmen, in dem sich der Lastwagen anfänglich mit 20 m/s bewegt. Die Kugel beginnt mit 1 J und endet mit 121 J. Fast 20 J scheinen also aus dem Nichts aufgetaucht zu sein, da die chemische Energie immer noch nur 100 J beträgt. Wenn wir uns jedoch den Lastwagen ansehen, sehen wir, dass der Lastwagen mit 200 kJ gestartet ist, aber obwohl die Geschwindigkeitsänderung nur -1 mm/s beträgt, reduziert dieser kleine Geschwindigkeitsunterschied den KE des Lastwagens um 20 J. Die Quelle des zusätzlichen KE des Geschosses ist also tatsächlich der KE des Lastwagens, übertragen auf den Kugel durch die Impulserhaltung.

Beachten Sie ein paar wichtige Punkte. Um dies herauszufinden, müssen Sie sowohl Energie als auch Impuls berücksichtigen. Da die Energie proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, führt eine kleine Geschwindigkeitsänderung ausgehend von Null zu einer vernachlässigbaren Energieänderung, aber die gleiche Geschwindigkeitsänderung ausgehend von einer höheren Geschwindigkeit ist eine größere Energieänderung. Beachten Sie schließlich, dass der KE in verschiedenen Rahmen unterschiedlich ist, aber in jedem Rahmen immer noch Energie gespart wird.

Hier ist ein quantitatives Beispiel. Wir brauchen zwei Trägheitsreferenzrahmen,$K$und$K'$, orientiert in der Standardweise (die$x$-$x'$Achsen parallel usw.).$K'$bewegt sich mit einer Geschwindigkeit$u = 1,000$m/s entlang der$x$-Achse von$K$.

Ein Massenobjekt$m = 1$kg ruht zunächst in der$K'$rahmen. Ein Beobachter drin$K'$wendet eine Kraft an$F = 1$N im$x'$Richtung zum Objekt für eine Zeit$\Delta t =$1 Sek. Wir wollen die geleistete Arbeit berechnen$F$wie in der gemessen$K'$Rahmen und im$K$rahmen.

In$K'$:

Die Beschleunigung:

$$a = \frac{F}{m} = 1 \textrm{ m/s}^2.$$

Die Geschwindigkeitsänderung:

$$\Delta v' = a\Delta t = 1 \textrm{ m/s}.$$

Die Verschiebung:

$$\Delta x' = \frac{1}{2}a\Delta t^2 = \frac{1}{2} \textrm{ m}.$$

Die Arbeit von F:

$$W' = F\Delta x' = \frac{1}{2} \textrm{ J}.$$

Der Wechsel ein$KE'$:

$$\Delta KE' = \frac{1}{2}mv_{f}'^{2} = \frac{1}{2} \textrm{ J}.$$

In K,$a$,$F$, und$\Delta t$sind alle gleich wie in$K'$, pro Galileo.

Die Geschwindigkeitsänderung:

$$\Delta v = \Delta v' + u = 1,001 \textrm{ m/s}.$$

Die Verschiebung:

$$\Delta x = \Delta x' + u\Delta t = 1,000.5 \text{ m}.$$

Die geleistete Arbeit von$F$:

$$W = F\Delta x = F\Delta x' + Fu\Delta t = \frac{1}{2} \textrm{ J} + 1,000 \textrm{ J} = 1,000.5 \textrm{ J}.$$

Die Änderung in KE:

$$\Delta KE = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}m\left(v_f^2 - u^2\right) = 1,000.5 \textrm{ J}.$$

Es scheint also, dass wir 1.000 J Energie „erzeugt“ haben, indem wir lediglich die Referenzrahmen ändern, aber genau so sollten wir es interpretieren.$KE$ist eine frameabhängige Größe. Aber der Arbeits-Energie-Satz ist Galilei-invariant.

Lassen Sie für Ihr Stonehenge-Beispiel$m$sei die Masse der Erde, 5,972$\times$10$^{24}$kg. In$K'$, das Ruhesystem der Erde,$a$,$\Delta v'$,$\Delta x'$,$W$, und$\Delta KE$alle werden ungefähr Null. Dies scheint zu einem Widerspruch zu führen, da im Rahmen$K$, das Ruhesystem der Sonne,$\Delta KE$ist null, aber es scheint$W \neq 0$, da sich Stonehenge in 1 Sekunde um eine beträchtliche Strecke bewegt. Jedoch,$W$im Arbeit-Energie-Theorem ist die verrichtete Nettoarbeit, und wir müssen alle Kräfte einbeziehen, die auf Stonehenge einwirken – die, wenn sie addiert werden, eine Null-Nettokraft parallel zu seiner Bewegungsrichtung ergeben.

Und wie "weiß" das Objekt, das sich mit konstanter Geschwindigkeit durch den Raum bewegt, überhaupt, dass es sich bewegt?

Nein, tut es nicht.

Und das Objekt kennt seine eigene kinetische Energie nicht.

Wenn Sie während der Zeit von 1 Sekunde eine Kraft von 1 Newton auf das Objekt ausüben, würde sich die Energie des Objekts ändern. Aber wie stark sie sich ändert, hängt vom Bezugsrahmen ab. Sie kann zunehmen, sehr stark zunehmen oder abnehmen. Oder sogar konstant bleiben (wenn die Geschwindigkeit des Objekts die Richtung ändert).

Die Energie ist nicht so etwas wie ein Geldbetrag auf einem Bankkonto :) Die Energie des Objekts hängt vom Bezugsrahmen ab. Sie müssen sich nur an einen Bezugsrahmen halten und die Energie damit berechnen. Dann würde die Energie konstant bleiben.

Wenn ich darüber nachdenke, bewegt sich die Erde mit 30 km/s um die Sonne. Wenn ich also bei Sonnenaufgang auf einem der Steine ​​von Stonehenge stehe, entlädt dann das Gewicht meines Körpers 17 Megawatt Energie hinein?

Ich habe die Berechnungen nicht überprüft, sieht aber so aus. Sie produzieren Arbeit am Stein. Die Erde produziert Arbeit an dir. Ihre Energie, die Energie des Steins und die Energie der Erde bleiben konstant. Es ist kein sehr bequemer Bezugsrahmen, aber es ist möglich, ihn zu verwenden.

Es scheint, dass die Definition von Arbeit eine Art Vorbehalt enthält, dass die Entfernung, die sich das Objekt bewegt, irgendwie mit der Kraft in Beziehung stehen muss, aber das ist mir völlig unklar.

Für mich war es auch kontraintuitiv. Aber nicht mehr :)

Etwas Kraft auf ein stehendes Auto auszuüben ist viel einfacher, als die gleiche Kraft auf ein schnell fahrendes Auto auszuüben.

Was für mich überhaupt keinen Sinn ergibt, ist, dass die Änderung der kinetischen Energie direkt proportional zur Entfernung ist, die sich das Objekt bewegt.

Ich denke, das ist nicht richtig. Die Änderung der kinetischen Energie ist nur dann proportional zur zurückgelegten Strecke, wenn das Objekt kontinuierlich beschleunigt wird (dh seine Geschwindigkeit ändert sich kontinuierlich). Die Änderung der kinetischen Energie hängt von der Änderung der Geschwindigkeit ab.

Was ist, wenn sich das Objekt zufällig trotzdem bewegt?

Wenn in diesem Fall die von Ihnen ausgeübte Kraft die einzige Kraft ist, die auf den Körper wirkt, ergibt das Produkt aus der ausgeübten Kraft und der Verschiebung des Objekts unter der Wirkung der Kraft die Änderung der kinetischen Energie der linearen Bewegung Objekt.