Phasenfaktoren unter Drehungen von starkem und schwachem Isospin

Ein Antiteilchen transformiert sich in der konjugierten Transformation$\bar{\mathbf r}$als das Teilchen${\mathbf r}$tut unter der gegebenen Symmetriegruppe,$SU(2)$in Ihrem Fall. Kein Wunder also generell, dass die Generatoren$T^i_{\mathbf r}$und$T^i_\bar{\mathbf r}=-T^{i\,*}_{\mathbf r}$anders handeln${\mathbf r}$und$\bar{\mathbf r}$beziehungsweise. Dies ist der Grund, warum z.$\frac{1}{2}$Felder, also Linearkombinationen von Teilchenvernichtungsoperatoren,$a$, und Anti-Partikel-Erzeugungsoperatoren,$b^\dagger$, die Wellenfunktionen$u(p)$und$v(p)$vor$a$und$b^\dagger$sind nicht einfach verwandt mit$p\rightarrow -p$.

Für SU(2) jedoch Doublet-Transformation mit Generatoren$T^i=\sigma^i/2$(wo$\sigma^i$sind die Pauli-Matrizen), stellt sich heraus$\sigma^2 T^i\sigma^2=-T^{i\,*}$so dass$i\sigma^2 \bar{\mathbf{2}}$transformieren als ein${\mathbf 2}$, nämlich

$$i\sigma^2\psi^*=\left(\begin{array}{c} \bar{d}\\ -\bar{u}\end{array}\right)\qquad \mbox{and}\qquad \psi=\left(\begin{array}{c} u\\ d\end{array}\right)$$ transformieren Sie auf die gleiche Weise unter $SU(2)$(und besonders $\tau_+ \bar{u}=-\bar{d}$). Wenn Sie also ein Triplett extrahieren möchten $\bar{\mathbf 2}\otimes {\mathbf 2}={\mathbf{1}}+\mathbf{3}$, Sie müssen nur die symmetrischen Kombinationen von nehmen $i\sigma^2_{ab} \psi^{b\,*} \psi^c + i\sigma^2_{cb} \psi^{b\,*} \psi^a={\mathbf{3}}$, genau so, als ob Sie das Triplett (dh die symmetrische Kombination) aus extrahieren wollten $\mathbf 2\otimes {\mathbf 2}={\mathbf{1}}+\mathbf{3}$.

Ordnen Sie die Zustände explizit als an$\psi^{a=1}=|up\rangle=u$und$\psi^{a=2}=|down \rangle=d$wie oben (dies ist die Grundlage, wo$T^3$ist diagonal mit$+1/2$und$-1/2$am oberen bzw. unteren Eintrag), die symmetrische Kombination mit$a=1$und$c=2$in$i\sigma^2_{ab} \psi^{b\,*} \psi^c + i\sigma^2_{cb} \psi^{b\,*} \psi^a$ist proportional zu$\bar{u}u-\bar{d}d$. Das relative Minuszeichen, das Sie erhalten, kommt von der$i\sigma^2$. Die anderen Zustände des Tripletts entsprechen der Auswahl$a=c=1$und$a=c=2$, die geben$\bar{d}u$und$\bar{u}d$

$$\mathbf{3}\propto \frac{1}{2}\left(i\sigma^2_{ab} \psi^{b\,*} \psi^c + i\sigma^2_{cb} \psi^{b\,*} \psi^a\right)=\left(\begin{array}{cc}\bar{d}u & \frac{1}{2}(\bar{d}d-\bar{u}u) \\ \frac{1}{2}(\bar{d}d-\bar{u}u) & -\bar{u}d \end{array}\right)_{ac}$$ Dies ist in der Tat die richtige Zusammensetzung, siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Pion , um es zu überprüfen.

Wenn Sie fälschlicherweise die entfernen$i\sigma$die symmetrische Kombination bilden, erhalten Sie stattdessen$\bar{u}d+\bar{d}u$(zum$a=1$,$c=2$), und$\bar{u}u$und$\bar{d}d$für die anderen Auswahlmöglichkeiten$a=c$, ein Ergebnis, das keinen Sinn ergibt.