Physik der Faltenbildung: Zustand der Unausdehnbarkeit verstehen

Ich lese diesen sehr coolen Artikel über die Bildung von Falten in elastischen Materialien. Das wichtigste Ergebnis des Papiers ist eine Reihe von Skalierungsgesetzen für die Amplitude und Wellenlänge von Falten, die auf den physikalischen Eigenschaften des Materials basieren, und eine Erklärung dafür, warum Falten mit einer charakteristischen Wellenlänge aus dem Gleichgewicht von Biege- und Dehnungsenergien hervorgehen.

Ich versuche, ihre Ableitung dieser Skalierungsgesetze aus der Formulierung eines Energiefunktionals zu verfolgen. Ich kann alles verstehen, außer der physikalischen Ableitung eines Schlüsselbestandteils: der Bedingung der Unausdehnbarkeit (Gleichung 2 in ihrem Artikel).

Lassen Sie mich das Problem aufstellen: Angenommen, Sie haben eine dünne elastische Bahn der Länge$L$und Breite$W\ll L$. Nehmen wir nun an, Sie klemmen zwei Enden fest und setzen es entlang seiner Länge einer Zugkraft aus (die$x$Richtung). Bei einer kritischen Belastung des Materials entstehen Falten entlang der$x$Richtung. Parametrieren Sie die Höhe der Falten als$\zeta(x,y)$und arbeiten in der grenze der kleinen verformung$\zeta$(und kleine Derivate von$\zeta$). Man kann abhängig von Biege- und Streckenergiefunktionale aufschreiben$\zeta$, und zusätzlich ist die durch die Geometrie des Problems gegebene Randbedingung die sogenannte Inextensibility-Bedingung, die die Autoren als schreiben

wo daran erinnern, dass die$y$Richtung ist quer zur angelegten Spannung (und den Falten) und$\Delta(x)$ist die "auferlegte kompressive Querverschiebung" in ihren Worten. Ich bin ziemlich zuversichtlich, dass dies bedeutet$\Delta(x)=W-W'$dh der Unterschied zwischen$W$, die entspannte Breite des Blattes und$W'$, die aktuelle Breite des Bogens nach Anlegen der Spannung (ohne Berücksichtigung der Faltenbildung). NB: Ich bin mir ziemlich sicher, dass es in ihrem Papier einen Tippfehler bei den Integrationsgrenzen gibt, den ich hier korrigiert habe.

Meine Frage:

Kann mir jemand die Unausdehnbarkeitsbedingung physikalisch erklären, beschreiben, wie sie auf dieses Problem zutrifft, und demonstrieren, warum die obige mathematische Formulierung richtig ist?

Ich weiß, dass dies in vielen Situationen der Kontinuumsmechanik eine wichtige Bedingung ist, daher möchte ich es im Allgemeinen sowie in diesem speziellen Kontext verstehen. Wikipedia scheint keinen guten Artikel darüber zu haben.

Meine Gedanken bisher:

Meine physikalische Interpretation der Nichtdehnbarkeitsbedingung ist, dass die Breite des Blattes an einem bestimmten Punkt beim Faltenprozess erhalten bleiben muss, so dass Sie, wenn Sie die Bogenlänge des Blattes in Querrichtung entlang aller Falten messen, erhalten sollten gleiche Breite, die Sie ohne Falten hätten ($W'$im Absatz oben). Wenn ich diesen Ausdruck mathematisch ausschreibe, bekomme ich

Seit$W' = W-\Delta(x)$, ich kann umschreiben$W' = \int_0^W\left(1-\frac{\Delta(x)}{W}\right)dy$. Gleichsetzen der beiden, vereinfachen zu erhalten

Welches um ein Vorzeichen vom angegebenen Ergebnis abweicht. Das Vorzeichen, das sie dort haben, ist entscheidend, da mein Integrand nur dann Null sein kann, wenn beide Komponenten trivialerweise Null sind. Per Definition ist das möglich$\Delta(x)<0$, aber dies scheint eine sehr seltsame Konvention zu sein, und sie wird später in der Zeitung nicht beachtet.

Daher muss ich glauben, dass entweder (1) ich einen Vorzeichenfehler gemacht habe (hoffentlich nicht!), (2) das Vorzeichen von$\Delta(x)$hat eine seltsame Konvention, oder (3) mein Verständnis der Bedingung der Unerweiterbarkeit war falsch. Ich würde mich über jede Hilfe freuen!