Physikalische Interpretation des Graphen der Legendre-Transformation?

Siehe Die Legendre-Transformation verstehen und Legendre-Transformationen für Dummies .

Sehen Sie sich das folgende Diagramm aus dem ersten Link an:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Ich habe versucht, an das einfachste Beispiel zu denken, um dies physikalisch zu interpretieren: Betrachten Sie den Graphen der kinetischen Energie gegenüber der Größe der Geschwindigkeit: T ( v ) = 1 2 m v 2 . (dh x := v )

Dann s = d d v T ( v ) = m v = p die Größe des Impulses offensichtlich.

Außerdem, s v = p v = m v 2 . F = T ( v ) = 1 2 m v 2 , und da s v = F + G , es folgt dem G ( s ) = m v 2 − 1 2 m v 2 = 1 2 m v 2 = s 2 2 m = p 2 2 m .

Für eine allgemeine Legendre-Transformation gilt jedoch: G ist nur das Negativ des Achsenabschnitts der Tangente – was ist also die physikalische Interpretation der Tatsache, dass das Negativ des Achsenabschnitts der Tangente an den Graphen von T ( v ) = 1 2 m v 2 ist immer gleich T ( v ) selbst? Ist diese mathematische Tatsache ein Ergebnis der Isotropie des Raums oder einer anderen von uns angenommenen Symmetrie (vermutlich würde eine ähnliche, aber nicht identische Tatsache beispielsweise für die relativistische Mechanik gelten)?

Welche physikalische Bedeutung hat die Tatsache, dass T ( v ) = F ( x ) = G ( s ) = T ( p ) ?

Auch im zweiten Link wird die Legendre-Transformation als Transformation zwischen "konjugierten Variablen" beschrieben. Was bedeutet es physikalisch, dass zwei Größen konjugierte Variablen sind? Welche physikalische Bedeutung hat die Tatsache, dass Geschwindigkeit und Impuls konjugierte Variablen sind? Warum sind sie konjugierte Variablen? Bezieht sich das irgendwie auf F ( v ) = G ( p ) ?

Diese Fragen sind mit ziemlicher Sicherheit sehr dumm, daher schätze ich Ihre Geduld mit mir und jede Hilfe, die Sie möglicherweise leisten können, sehr.

Hinweis: Diese Frage ist KEIN Duplikat dieser Frage ; Ich frage nach einem bestimmten Aspekt der Legendre-Transformation.

BEARBEITEN: Anscheinend soll dies etwas darüber bedeuten, dass Geschwindigkeit und Impuls "konvexe Konjugate" sind - aber ich sehe immer noch nicht, was die physikalische Interpretation von "konvexem Konjugat" ist, noch von der grafischen Beziehung, die es implizieren soll.

Ich denke, die Antwort hat wahrscheinlich mit der Isotropie des Raums zu tun, da die Lagrange-Funktion der freien Teilchen eine Funktion des Quadrats der Geschwindigkeit sein muss. Da mv^2 eine Parabel beschreibt, bedeutet dies, dass die Steigung der Tangentenspur eindeutig eine Parabel nachzeichnet. Die Steigungen von G sind durch die Steigungen der ursprünglichen Funktion festgelegt. Man kann dann die transformierte Funktion G in Bezug auf die Steigungen parametrisieren und G wird auch eine Parabel sein, indem genau diese Steigungen integriert werden. Die konvexe Konjugation ist die Verallgemeinerung der Legendre-Transformation auf vektorwertige Funktionen, was für Geschwindigkeit/Impuls der Fall ist.

Antworten (1)

Dies ist eine Teilantwort, auf die ich hoffentlich zurückkommen und sie erweitern werde.

Die Eigenschaft, eine eigene Legendre-Transformation zu sein, ist einzigartig für die reine quadratische kinetische Energie T ( v ) = 1 2 m v 2 .

  • Betrachten Sie als einfaches Beispiel T ( v ) = 1 4 EIN v 4 . Hier ist das Legendre-Momentum

    p = ∂ L ∂ v = ∂ T ∂ v = EIN v 3 ,
    so ist die Geschwindigkeit v = v ( p ) = p / EIN 3 , und die Legendre-transformierte kinetische Energie ist
    T ~ ( p ) = 1 4 EIN v ( p ) 4 = 1 4 p 4 / 3 EIN 1 / 3 .
    Dies ist eine gültige kinetische Energie, aber sie stimmt nicht mit unserem ursprünglichen Quartikum überein.

  • Betrachten Sie als physikalischeres Beispiel die relativistische kinetische Energie,

    T ( v ) = − m c 2 γ = − m c 2 1 − v 2 / c 2 ,
    für die die konjugierte Legendre-Variable ist
    p = ∂ L ∂ v = ∂ T ∂ v = m v 1 − v 2 / c 2 = γ m v ,
    so ist die Geschwindigkeit
    v = v ( p ) = c p p 2 + m 2 c 2
    und die Legendre-transformierte kinetische Energie ist
    T ~ ( p ) = − m 2 c 3 p 2 + m 2 c 2
    was wiederum nicht mit unserer ursprünglichen Funktion übereinstimmt. Insbesondere Ihre Hoffnungen auf ein ähnliches Ergebnis in der relativistischen Kinematik werden nicht ganz erfüllt.

Keines dieser Ergebnisse sagt viel darüber aus, was die Legendre-Transformation bedeutet, aber sie sagen einiges darüber aus, was es braucht, damit die Legendre-transformierte kinetische Energie mit der ursprünglichen Form übereinstimmt; insbesondere kann dies nichts mit Isotropie oder einem naiven Symmetrie-Argument zu tun haben.

Allerdings lässt sich der quadratische Lagrangian tatsächlich aus sehr einfachen Argumenten ableiten, was, wie ich mich erinnere, am Anfang von Landaus Mechanikbuch in knapper, aber klarer Weise getan wurde.

Also noch einmal eine Teilantwort - aber hoffentlich genug, um dies in die richtige Richtung zu lenken.

Ja, in Landaus Buch wird eine Ableitung der Lagrange-Funktion für ein freies Teilchen basierend auf Symmetrien angegeben.
Ich würde gerne sehen, ob Sie dieses Wochenende noch etwas hinzuzufügen haben – die Nachfrist endet diesen Sonntag.
@William Ich werde sehen, ob ich genug Zeit habe. Ich habe in Landau nachgesehen, und es gibt tatsächlich eine Ableitung des quadratischen Lagrange, aber ich denke nicht, dass es besonders tief ist. Es stützt sich (zusätzlich auf Isotropie und Homogenität des Raums, die Sie auf Funktionen von reduzieren v 2 ), indem Sie die Anforderung auferlegen, dass alle galiläischen Boosts reduziert werden, um Transformationen zu messen, und das gibt Ihnen L ∝ v 2 . Ehrlich gesagt sieht das für mich konzeptionell orthogonal zu der Sache mit der Selbst-Legendre-Transformation aus.
Physikalische Interpretation des Graphen der Legendre-Transformation?
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